โจทย์ประยุกต์สมการเส้นตรง
ฝึกนำระบบพิกัด ความชัน สมการเส้นตรง จุดตัดแกน เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก ระยะทาง และจุดกึ่งกลาง มาใช้แก้โจทย์หลายขั้นตอนและสถานการณ์จริง
วิเคราะห์ข้อมูลจากโจทย์ เลือกรูปสมการที่เหมาะสม สร้างสมการเส้นตรง และตรวจสอบคำตอบได้อย่างเป็นระบบ ก่อนต่อยอดเข้าสู่เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
1. แผนแก้โจทย์สมการเส้นตรง
- อ่านว่าโจทย์กำหนดอะไร เช่น จุด ความชัน จุดตัดแกน หรือสมการเดิม
- หาความชันก่อน เมื่อโจทย์เกี่ยวข้องกับจุดสองจุด เส้นขนาน หรือเส้นตั้งฉาก
- เลือกรูปสมการที่เหมาะสม
- แทนพิกัดของจุดเพื่อหาค่าคงตัว
- จัดรูปสมการตามที่โจทย์ต้องการ
- แทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบ
รู้ความชันและจุดหนึ่งจุด ใช้ y-y₁=m(x-x₁) จะรวดเร็วที่สุด แต่ถ้าต้องการอ่านจุดตัดแกน ให้จัดเป็น y=mx+b
2. ตัวอย่าง: สร้างสมการจากจุดสองจุด
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน A=(1,3) และ B=(5,11)
ใช้จุด A=(1,3)
ตอบ y=2x+1
3. ตัวอย่าง: เส้นขนานผ่านจุดที่กำหนด
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน (2,7) และขนานกับ 3x-y+4=0
จัดสมการเดิมให้อยู่ในรูป y=mx+b
เส้นขนานมีความชันเท่ากัน จึงได้ m=3
ตอบ y=3x+1
4. ตัวอย่าง: เส้นตั้งฉากผ่านจุดที่กำหนด
จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่าน (4,1) และตั้งฉากกับ y=2x-5
เส้นเดิมมีความชัน 2 เส้นตั้งฉากจึงมีความชัน -1/2
เขียนเป็นรูปทั่วไปได้ว่า
ตอบ y=(-1/2)x+3 หรือ x+2y-6=0
5. ตัวอย่าง: สมการเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง
กำหนด A=(2,2) และ B=(6,4) จงหาสมการเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง AB
ขั้นที่ 1 หาจุดกึ่งกลาง
ขั้นที่ 2 หาความชันของ AB
ความชันของเส้นตั้งฉากคือ -2
ตอบ y=-2x+11
6. ตัวอย่าง: สถานการณ์ค่าใช้จ่าย
รถรับจ้างคิดค่าบริการเริ่มต้น 35 บาท และคิดเพิ่มกิโลเมตรละ 8 บาท ถ้าเดินทาง x กิโลเมตร ค่าโดยสาร y บาท เขียนสมการได้อย่างไร
- อัตราเพิ่มต่อกิโลเมตรคือความชัน m=8
- ค่าเริ่มต้นคือ b=35
ถ้าเดินทาง 10 กิโลเมตร
ตอบ สมการ y=8x+35 และค่าโดยสาร 115 บาท
7. เทคนิคโจทย์ประยุกต์
- คำว่า “เพิ่มขึ้นต่อหนึ่งหน่วย” มักหมายถึงความชัน
- คำว่า “ค่าเริ่มต้น” มักหมายถึง b
- ผ่านจุดสองจุด ให้หาความชันก่อน
- ขนาน ใช้ความชันเดิม
- ตั้งฉาก ใช้จำนวนผกผันที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
- เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง ต้องหาทั้งจุดกึ่งกลางและความชันตั้งฉาก
- หาจุดตัดแกน X ให้แทน y=0
- หาจุดตัดแกน Y ให้แทน x=0
- เส้นผ่านจุดกำเนิดมี b=0
- ตรวจคำตอบด้วยการแทนพิกัดกลับในสมการ
โจทย์สถานการณ์อาจกำหนดขอบเขต เช่น เวลา ระยะทาง หรือจำนวนสินค้าไม่ติดลบ แม้สมการเส้นตรงจะคำนวณค่าอื่นได้ก็ตาม
8. โจทย์ประยุกต์สมการเส้นตรง 20 ข้อ
ระดับพื้นฐานและปานกลาง ข้อ 1–10
ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20
9. สรุปท้ายบท
- ผ่านจุดสองจุด ต้องหาความชันก่อนสร้างสมการ
- รู้ความชันและจุดหนึ่งจุด ใช้ y-y₁=m(x-x₁)
- เส้นขนานใช้ความชันเดิม
- เส้นตั้งฉากใช้จำนวนผกผันที่เปลี่ยนเครื่องหมาย
- เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งต้องผ่านจุดกึ่งกลาง
- ค่าเริ่มต้นในโจทย์สถานการณ์คือ b
- อัตราการเพิ่มหรือลดต่อหนึ่งหน่วยคือ m
- หาค่าที่ไม่ทราบด้วยการแทนข้อมูลลงในสมการ
- หาจุดที่ปริมาณหมดหรือเป็นศูนย์โดยแทน y=0
- ตรวจคำตอบโดยแทนพิกัดหรือค่ากลับในสมการเดิม
เมื่อแก้โจทย์สมการเส้นตรงได้คล่องแล้ว นักเรียนจะพร้อมนำแนวคิดเรื่องพิกัด ระยะทาง ความชัน และสมการ ไปใช้วิเคราะห์วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา