ความชันของเส้นตรง
เรียนรู้ความหมายของความชัน การหาความชันจากกราฟและพิกัดสองจุด พร้อมแปลความหมายว่าเส้นตรงเอียงขึ้น เอียงลง เป็นเส้นนอน หรือเป็นเส้นตั้ง
หาความชันของเส้นตรงได้ถูกต้อง อ่านทิศทางของกราฟได้ และนำความชันไปต่อยอดสู่สมการเส้นตรง เส้นขนาน เส้นตั้งฉาก และภาคตัดกรวย
1. ปัญหานำ
กำหนดให้เส้นตรงผ่านจุด A=(1,2) และ B=(4,8) เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น 3 หน่วย ค่า y เพิ่มขึ้น 6 หน่วย เส้นตรงนี้มีความชันเท่าใด
ดังนั้น เมื่อเดินไปทางขวา 1 หน่วย เส้นตรงจะสูงขึ้น 2 หน่วย
2. ความชันคืออะไร
ความชันเป็นค่าที่บอกว่าเส้นตรงเอียงมากน้อยเพียงใด และเอียงขึ้นหรือเอียงลงเมื่อมองจากซ้ายไปขวา
ความชันบอกว่า เมื่อเดินไปทางขวา เส้นตรงจะขึ้นหรือลงกี่หน่วย
3. สูตรความชันจากจุดสองจุด
ถ้าเส้นตรงผ่านจุด A=(x₁,y₁) และ B=(x₂,y₂)
ตัวเศษคือผลต่างของค่า y และตัวส่วนคือผลต่างของค่า x
ถ้าตัวเศษใช้ y₂-y₁ ตัวส่วนต้องใช้ x₂-x₁ ห้ามสลับเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง
4. ตัวอย่างหาความชันจากจุดสองจุด
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน A=(2,3) และ B=(6,11)
ความหมายคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย ค่า y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วย
5. สลับลำดับจุดได้หรือไม่
สามารถสลับลำดับจุดได้ แต่ต้องสลับทั้งตัวเศษและตัวส่วนพร้อมกัน
ทั้งสองวิธีได้คำตอบเท่ากัน เพราะเครื่องหมายลบทั้งเศษและส่วนตัดกัน
ห้ามใช้ (11-3)/(2-6) เพราะลบค่า y และค่า x คนละทิศทาง
6. ความชันเป็นบวก
เส้นตรงจะเอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
- x เพิ่ม และ y เพิ่ม
- x ลด และ y ลด
- เศษและส่วนมีเครื่องหมายเหมือนกัน
มองจากซ้ายไปขวาแล้วเส้นขึ้น หมายถึงความชันเป็นบวก
7. ความชันเป็นลบ
เส้นตรงจะเอียงลงจากซ้ายไปขวา
- x เพิ่ม แต่ y ลด
- x ลด แต่ y เพิ่ม
- เศษและส่วนมีเครื่องหมายต่างกัน
มองจากซ้ายไปขวาแล้วเส้นลง หมายถึงความชันเป็นลบ
8. ความชันของเส้นนอน
เส้นตรงแนวนอนขนานกับแกน X จุดทุกจุดบนเส้นมีค่า y เท่ากัน
ดังนั้น เส้นตรงแนวนอนมีความชันเท่ากับศูนย์
ตัวอย่าง y=3 เป็นเส้นตรงแนวนอนที่ผ่านค่า y เท่ากับ 3
9. ความชันของเส้นตั้ง
เส้นตรงแนวตั้งขนานกับแกน Y จุดทุกจุดบนเส้นมีค่า x เท่ากัน
เนื่องจากไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ความชันของเส้นตั้งจึงไม่มีค่า หรือไม่กำหนด
เส้นนอนมีความชันเป็นศูนย์ แต่เส้นตั้งมีความชันไม่กำหนด
10. สรุปลักษณะของความชัน
| ลักษณะเส้นตรง | ค่าความชัน | ทิศทางจากซ้ายไปขวา |
|---|---|---|
| เอียงขึ้น | m>0 | สูงขึ้น |
| เอียงลง | m<0 | ต่ำลง |
| เส้นนอน | m=0 | ระดับคงที่ |
| เส้นตั้ง | ไม่กำหนด | ไม่มีการเปลี่ยนแปลงของ x |
11. หาความชันจากกราฟ
เลือกจุดสองจุดบนเส้นตรงที่อ่านพิกัดได้ชัดเจน แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากการเปลี่ยนแปลงแนวนอนและแนวตั้ง
ตัวอย่าง เดินไปทางขวา 4 หน่วย และสูงขึ้น 6 หน่วย
ถ้าเดินไปทางขวาแล้วลดลง 6 หน่วย ความชันจะเป็น -3/2
12. เปรียบเทียบความชันของเส้นตรง
เมื่อความชันเป็นบวก เส้นที่มีค่า m มากกว่าจะเอียงสูงขึ้นเร็วกว่า
เมื่อความชันเป็นลบ ให้เปรียบเทียบขนาดของค่าโดยไม่สนใจเครื่องหมายก่อน
แม้ -5 จะมีค่าน้อยกว่า -2 แต่เส้นที่มี m=-5 จะลดลงเร็วกว่า
พิจารณาค่าสัมบูรณ์ |m| ยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
13. ความชันของเส้นขนาน
เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันจะเอียงในทิศทางเดียวกันและมีความชันเท่ากัน
ตัวอย่าง เส้นตรงที่มีความชัน 3 จะขนานกับเส้นตรงอีกเส้นที่มีความชัน 3
เส้นตั้งทุกเส้นขนานกัน แม้ว่าความชันของเส้นตั้งจะไม่กำหนด
14. ปูพื้นฐานเส้นตั้งฉาก
สำหรับเส้นตรงที่ไม่ใช่เส้นตั้งหรือเส้นนอน ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกัน ความชันจะเป็นจำนวนผกผันที่มีเครื่องหมายตรงข้าม
ตัวอย่าง ถ้าเส้นแรกมีความชัน 2 เส้นที่ตั้งฉากจะมีความชัน -1/2
หัวข้อนี้จะนำไปใช้ต่อในบทเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
15. ตัวอย่างประยุกต์
เส้นตรงผ่านจุด A=(-2,1) และ B=(4,-5) จงหาความชันและบอกทิศทางของเส้น
เนื่องจาก m เป็นลบ เส้นตรงจึงเอียงลงจากซ้ายไปขวา
เมื่อ x เพิ่มจาก -2 เป็น 4 แต่ y ลดจาก 1 เป็น -5 ความชันต้องเป็นลบ
16. เทคนิคทำข้อสอบ
- เขียนสูตร m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) ก่อนแทนค่า
- จับคู่พิกัดของแต่ละจุดให้ถูกต้อง
- ลบค่า y และค่า x ไปในทิศทางเดียวกัน
- ใส่วงเล็บเมื่อแทนจำนวนลบ
- ย่อเศษส่วนให้ต่ำสุดก่อนตอบ
- ตรวจเครื่องหมายจากทิศทางของเส้น
- ค่า y เท่ากัน หมายถึงความชันเป็นศูนย์
- ค่า x เท่ากัน หมายถึงความชันไม่กำหนด
- ค่าสัมบูรณ์ของ m ยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
- เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
เมื่อลบจำนวนลบ ต้องเขียนวงเล็บ เช่น 4-(-2)=6 ไม่ใช่ 2
17. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด A=(1,2) และ B=(5,10)
ดูเฉลย
m=(10-2)/(5-1)
m=8/4=2
ตอบ 2
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด A=(-3,4) และ B=(2,-6)
ดูเฉลย
m=(-6-4)/(2-(-3))
m=-10/5=-2
ตอบ -2
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P=(-4,3) และ Q=(6,3)
ดูเฉลย
ค่า y ของทั้งสองจุดเท่ากัน
m=(3-3)/(6-(-4))=0/10=0
ตอบ 0 เป็นเส้นตรงแนวนอน
-
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด P=(5,-2) และ Q=(5,7)
ดูเฉลย
ค่า x ของทั้งสองจุดเท่ากัน
m=(7-(-2))/(5-5)=9/0
ตอบ ความชันไม่กำหนด เป็นเส้นตรงแนวตั้ง
-
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน 3/4 ถ้าเดินไปทางขวา 8 หน่วย ค่า y จะเปลี่ยนแปลงเท่าใด
ดูเฉลย
3/4 หมายถึง ไปทางขวา 4 หน่วย แล้วขึ้น 3 หน่วย
เมื่อไปทางขวา 8 หน่วย ซึ่งเป็น 2 เท่า ค่า y จึงเพิ่ม 3×2=6 หน่วย
ตอบ เพิ่มขึ้น 6 หน่วย
18. แบบทดสอบท้ายบท 20 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับประยุกต์ ข้อ 11–20
19. สรุปท้ายบท
- ความชันใช้สัญลักษณ์ m
- สูตรความชันคือ m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
- ความชันบวก หมายถึงเส้นเอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
- ความชันลบ หมายถึงเส้นเอียงลงจากซ้ายไปขวา
- เส้นนอนมีความชันเท่ากับ 0
- เส้นตั้งมีความชันไม่กำหนด
- ค่าสัมบูรณ์ของความชันยิ่งมาก เส้นยิ่งชัน
- เส้นขนานมีความชันเท่ากัน
- เส้นตั้งฉากมีผลคูณของความชันเท่ากับ -1
เมื่อเข้าใจความชันแล้ว บทต่อไปจะนำความชันไปสร้างและอ่านสมการเส้นตรงในรูป y=mx+b