EP17 : หลักการนับ แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยน

🎯

EP17 • Foundation Mathematics

หลักการนับ แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยน

ฝึกนับจำนวนวิธีอย่างเป็นระบบ โดยไม่ต้องเขียนแจกแจงทุกกรณี

เป้าหมาย

เลือกใช้หลักการบวก หลักการคูณ แฟกทอเรียล และ nPr ได้ถูกต้อง

❓

1. ปัญหานำ

มีเสื้อ 3 ตัวและกางเกง 2 ตัว จะจัดชุดได้ทั้งหมดกี่แบบ

3×2=6 แบบ

เพราะเสื้อแต่ละตัวจับคู่กับกางเกงได้ 2 ตัว

➕

2. หลักการบวก

ใช้เมื่อเลือกทำอย่างใดอย่างหนึ่ง และแต่ละกรณีไม่ซ้ำกัน

ทั้งหมด = วิธีของกรณีที่ 1 + วิธีของกรณีที่ 2

เช่น เลือกเดินทางด้วยรถ 3 สาย หรือเรือ 2 สาย มีทั้งหมด 3+2=5 วิธี

✖️

3. หลักการคูณ

ใช้เมื่อการทำงานประกอบด้วยหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน

ทั้งหมด = วิธีขั้นที่ 1 × วิธีขั้นที่ 2 × ...

เช่น เสื้อ 4 ตัว กางเกง 3 ตัว จัดชุดได้ 4×3=12 แบบ

!

4. แฟกทอเรียล

n!=n(n−1)(n−2)...3×2×1

5!=5×4×3×2×1=120

0!=1

ตัดทอนได้เร็ว

7!/5!=7×6=42 ไม่ต้องคำนวณแฟกทอเรียลทั้งหมด

🔀

5. การเรียงของต่างกันทั้งหมด

ของต่างกัน n ชิ้น เรียงทั้งหมดได้ n! วิธี

เรียงหนังสือ 4 เล่ม = 4!=24 วิธี

📐

6. การเรียงสับเปลี่ยน nPr

เลือกของ r ชิ้นจากทั้งหมด n ชิ้น และลำดับมีความสำคัญ

nPr=n!/(n−r)!

5P2=5×4=20

คำสังเกต

ประธานกับรองประธานถือว่าตำแหน่งต่างกัน จึงต้องนับลำดับ

🔢

7. การสร้างจำนวน

พิจารณาเงื่อนไขของแต่ละหลักแล้วใช้หลักการคูณ

เลข 3 หลักจาก 1,2,3,4 ไม่ซ้ำกัน = 4×3×2=24

ระวังเลข 0

หลักแรกของจำนวนหลายหลักห้ามเป็น 0

🔁

8. การเรียงของซ้ำและรอบวงกลม

ถ้ามีของซ้ำ ต้องหารด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนที่ซ้ำ

BOOK = 4!/2!=12 แบบ

เรียงคน n คนรอบโต๊ะกลม

(n−1)! วิธี

⚡

9. เทคนิคเลือกวิธีเร็ว

คำว่า “หรือ” มักใช้หลักการบวก
คำว่า “และ” หรือหลายขั้นตอน มักใช้หลักการคูณ
เรียงทั้งหมด ใช้ n!
เลือกมาเรียงบางส่วน ใช้ nPr
มีของซ้ำ ต้องหารจำนวนการสลับของที่เหมือนกัน

✏️

10. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

มีหมวก 4 ใบและรองเท้า 3 คู่ เลือกอย่างละหนึ่งได้กี่แบบ
ดูเฉลย
12 แบบ
เรียงคน 5 คนเป็นแถวได้กี่วิธี
ดูเฉลย
5!=120 วิธี
เลือกหัวหน้าและรองหัวหน้าจาก 6 คนได้กี่วิธี
ดูเฉลย
6P2=30 วิธี
สร้างเลข 3 หลักจาก 1,2,3,4,5 โดยไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน
ดูเฉลย
5×4×3=60 จำนวน
เรียงตัวอักษรในคำว่า MAMA ได้กี่แบบ
ดูเฉลย
4!/(2!2!)=6 แบบ

🎓

11. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ถ้ามีเสื้อ 3 ตัวและกางเกง 2 ตัว จัดชุดได้กี่แบบ A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

ดูคำอธิบาย

ใช้หลักการคูณ 3×2=6

ตอบ B

ข้อ 2 เดินทางจาก A ไป B ได้ 4 ทาง และจาก B ไป C ได้ 3 ทาง เดินทางจาก A ไป C ผ่าน B ได้กี่วิธี A. 7 B. 10 C. 12 D. 16

ดูคำอธิบาย

เลือกทาง A→B ได้ 4 วิธี และ B→C ได้ 3 วิธี รวม 4×3=12

ตอบ C

ข้อ 3 ร้านมีอาหารจานหลัก 5 อย่างและเครื่องดื่ม 4 อย่าง เลือกอย่างละหนึ่งได้กี่ชุด A. 9 B. 16 C. 20 D. 25

ดูคำอธิบาย

5×4=20

ตอบ C

ข้อ 4 ถ้าเลือกทำกิจกรรม A ได้ 3 วิธี หรือกิจกรรม B ได้ 5 วิธี โดยทำได้เพียงอย่างเดียว มีทั้งหมดกี่วิธี A. 8 B. 15 C. 25 D. 125

ดูคำอธิบาย

ใช้หลักการบวก 3+5=8

ตอบ A

ข้อ 5 ค่าของ 5! เท่ากับเท่าใด A. 25 B. 60 C. 100 D. 120

ดูคำอธิบาย

5!=5×4×3×2×1=120

ตอบ D

ข้อ 6 ค่าของ 0! เท่ากับเท่าใด A. 0 B. 1 C. ไม่กำหนด D. ∞

ดูคำอธิบาย

นิยามกำหนดให้ 0!=1

ตอบ B

ข้อ 7 ค่าของ 6!/5! เท่ากับเท่าใด A. 1 B. 5 C. 6 D. 30

ดูคำอธิบาย

6!=6×5! จึง 6!/5!=6

ตอบ C

ข้อ 8 ค่าของ 7!/5! เท่ากับเท่าใด A. 14 B. 35 C. 42 D. 210

ดูคำอธิบาย

7!/5!=7×6=42

ตอบ C

ข้อ 9 จำนวนวิธีเรียงหนังสือ 4 เล่มต่างกันบนชั้นเท่ากับเท่าใด A. 4 B. 8 C. 16 D. 24

ดูคำอธิบาย

เรียงของต่างกัน 4 ชิ้นได้ 4!=24

ตอบ D

ข้อ 10 จำนวนวิธีเรียงคน 3 คนเป็นแถวเท่ากับเท่าใด A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

3!=6

ตอบ B

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 จำนวนวิธีเรียงตัวอักษร A, B, C, D ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด A. 12 B. 16 C. 20 D. 24

ดูคำอธิบาย

4!=24

ตอบ D

ข้อ 12 เลือกประธานและรองประธานจากนักเรียน 5 คนได้กี่วิธี A. 10 B. 20 C. 25 D. 60

ดูคำอธิบาย

ตำแหน่งต่างกัน ใช้ 5×4=20

ตอบ B

ข้อ 13 รหัส 2 หลักสร้างจากเลข 1,2,3,4 โดยไม่ซ้ำกันได้กี่รหัส A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

ดูคำอธิบาย

หลักแรก 4 วิธี หลักสอง 3 วิธี รวม 12

ตอบ B

ข้อ 14 รหัส 3 หลักสร้างจากเลข 1,2,3,4 โดยไม่ซ้ำกันได้กี่รหัส A. 12 B. 18 C. 24 D. 64

ดูคำอธิบาย

4×3×2=24

ตอบ C

ข้อ 15 จำนวนวิธีเลือกและเรียงของ 2 ชิ้นจากของต่างกัน 5 ชิ้นเท่ากับเท่าใด A. 10 B. 20 C. 25 D. 60

ดูคำอธิบาย

5P2=5×4=20

ตอบ B

ข้อ 16 สูตร nPr คือข้อใด A. n!/(n−r)! B. n!/[r!(n−r)!] C. r!/n! D. (n−r)!/n!

ดูคำอธิบาย

การเรียงสับเปลี่ยน nPr=n!/(n−r)!

ตอบ A

ข้อ 17 ค่า 6P2 เท่ากับเท่าใด A. 12 B. 20 C. 30 D. 36

ดูคำอธิบาย

6P2=6×5=30

ตอบ C

ข้อ 18 ค่า 7P3 เท่ากับเท่าใด A. 35 B. 105 C. 210 D. 343

ดูคำอธิบาย

7P3=7×6×5=210

ตอบ C

ข้อ 19 มีคน 6 คน เลือกมาเรียงแถว 4 คนได้กี่วิธี A. 120 B. 240 C. 360 D. 720

ดูคำอธิบาย

6P4=6×5×4×3=360

ตอบ C

ข้อ 20 เลือกผู้ชนะที่ 1, 2 และ 3 จากผู้แข่งขัน 8 คนได้กี่วิธี A. 56 B. 112 C. 336 D. 512

ดูคำอธิบาย

8P3=8×7×6=336

ตอบ C

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 เลขสามหลักที่สร้างจาก 1,2,3,4,5 โดยไม่ซ้ำกันมีทั้งหมดกี่จำนวน A. 30 B. 60 C. 100 D. 125

ดูคำอธิบาย

5×4×3=60

ตอบ B

ข้อ 22 เลขสามหลักที่สร้างจาก 0,1,2,3 โดยไม่ซ้ำกันมีทั้งหมดกี่จำนวน A. 12 B. 18 C. 24 D. 27

ดูคำอธิบาย

หลักร้อยเลือก 1,2,3 ได้ 3 วิธี จากนั้น 3 และ 2 วิธี รวม 18

ตอบ B

ข้อ 23 เลขคู่สองหลักสร้างจาก 1,2,3,4 โดยไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

ดูคำอธิบาย

หลักหน่วยต้องเป็น 2 หรือ 4 มี 2 วิธี หลักสิบเหลือ 3 วิธี รวม 6

ตอบ B

ข้อ 24 เลขคี่สามหลักสร้างจาก 1,2,3,4,5 โดยไม่ซ้ำกันได้กี่จำนวน A. 24 B. 30 C. 36 D. 60

ดูคำอธิบาย

หลักหน่วยเลือกเลขคี่ 3 วิธี หลักร้อย 4 วิธี หลักสิบ 3 วิธี รวม 36

ตอบ C

ข้อ 25 เรียงคำว่า CAT ได้กี่แบบ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

ดูคำอธิบาย

มีตัวอักษรต่างกัน 3 ตัว จึงเรียงได้ 3!=6

ตอบ B

ข้อ 26 เรียงคำว่า BOOK ได้กี่แบบ A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

ดูคำอธิบาย

มี 4 ตัว โดย O ซ้ำ 2 ตัว จึง 4!/2!=12

ตอบ B

ข้อ 27 เรียงคำว่า LEVEL ได้กี่แบบ A. 20 B. 30 C. 60 D. 120

ดูคำอธิบาย

มี 5 ตัว โดย L ซ้ำ 2 และ E ซ้ำ 2 จึง 5!/(2!2!)=30

ตอบ B

ข้อ 28 คน 5 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี A. 24 B. 60 C. 120 D. 240

ดูคำอธิบาย

เรียงรอบวงกลมใช้ (n−1)! จึงได้ 4!=24

ตอบ A

ข้อ 29 คน 6 คนนั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี A. 60 B. 120 C. 240 D. 720

ดูคำอธิบาย

(6−1)!=5!=120

ตอบ B

ข้อ 30 มีทางเข้าห้อง 3 ประตูและทางออก 4 ประตู โดยห้ามออกประตูเดิมกับที่เข้า มีทั้งหมดกี่วิธี A. 7 B. 9 C. 12 D. 16

ดูคำอธิบาย

เลือกประตูเข้า 3 วิธี และออกจากประตูที่เหลือ 3 วิธี รวม 9

ตอบ B

📌

12. สรุป

หลักการบวก: เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง

หลักการคูณ: ทำหลายขั้นตอนต่อเนื่อง

n!=n(n−1)...1

nPr=n!/(n−r)!

เรียงรอบวงกลม=(n−1)!

อ่านว่าโจทย์ให้ “เลือก” หรือ “เรียง”
ดูว่าลำดับมีความสำคัญหรือไม่
ตรวจเงื่อนไขห้ามซ้ำและเลข 0
มีของซ้ำต้องหารจำนวนการสลับซ้ำ

จำเป็นขั้นตอน

แยกขั้นตอน → นับวิธีแต่ละขั้น → เลือกบวกหรือคูณ → ตรวจเงื่อนไข

EP17 : หลักการนับ แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

หลักการนับ แฟกทอเรียล และการเรียงสับเปลี่ยน

1. ปัญหานำ

2. หลักการบวก

3. หลักการคูณ

4. แฟกทอเรียล

5. การเรียงของต่างกันทั้งหมด

6. การเรียงสับเปลี่ยน nPr

7. การสร้างจำนวน

8. การเรียงของซ้ำและรอบวงกลม

9. เทคนิคเลือกวิธีเร็ว

10. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

11. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

12. สรุป

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?