EP24 : พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติ

🎯

EP25 • Foundation Mathematics

พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติ

ฝึกแยกให้ออกว่าโจทย์ถามพื้นที่ที่ห่อหุ้มภายนอก หรือความจุภายในของรูปทรง

เป้าหมาย

คำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงพื้นฐาน พร้อมแก้โจทย์ถัง กล่อง และรูปทรงประกอบได้

❓

1. ปัญหานำ

กล่องใบหนึ่งยาว 10 ซม. กว้าง 6 ซม. สูง 4 ซม. ถ้าต้องการห่อกล่องและหาความจุ ต้องใช้สูตรเดียวกันหรือไม่

ห่อกล่อง → หาพื้นที่ผิว

ความจุภายใน → หาปริมาตร

จุดสำคัญ

พื้นที่ผิวใช้หน่วยกำลังสอง ส่วนปริมาตรใช้หน่วยกำลังสาม

🧊

2. ลูกบาศก์

พื้นที่ผิวทั้งหมด=6s²

ปริมาตร=s³

s คือความยาวด้านของลูกบาศก์

s=4 ⇒ พื้นที่ผิว=96 และปริมาตร=64

📦

3. ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

พื้นที่ผิวทั้งหมด=2(lw+lh+wh)

ปริมาตร=lwh

l คือความยาว w คือความกว้าง และ h คือความสูง

🔷

4. ปริซึม

ปริมาตร=พื้นที่ฐาน×ความสูงของปริซึม

พื้นที่ผิวข้าง=เส้นรอบรูปของฐาน×ความสูง

ถ้าฐานเป็นสามเหลี่ยม ต้องหาพื้นที่สามเหลี่ยมก่อน

🥫

5. ทรงกระบอก

ปริมาตร=πr²h

พื้นที่ผิวข้าง=2πrh

พื้นที่ผิวทั้งหมด=2πr²+2πrh

จำง่าย

พื้นที่ผิวทั้งหมด = ฝาบน + ฝาล่าง + ผิวด้านข้าง

🔺

6. พีระมิด

ปริมาตร=1/3×พื้นที่ฐาน×สูง

ความสูงต้องวัดตั้งฉากจากยอดลงสู่ฐาน

ฐาน 30 ตร.ซม. สูง 9 ซม. ⇒ V=90 ลบ.ซม.

🍦

7. กรวย

ปริมาตร=1/3πr²h

พื้นที่ผิวข้าง=πrl

พื้นที่ผิวทั้งหมด=πrl+πr²

l คือความสูงเอียง และหาได้จากพีทาโกรัส

l²=r²+h²

⚽

8. ทรงกลม

พื้นที่ผิว=4πr²

ปริมาตร=4/3πr³

ระวัง

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลาง ต้องหาร 2 เพื่อหารัศมีก่อน

◒

9. ครึ่งทรงกลม

ปริมาตร=2/3πr³

พื้นที่ผิวโค้ง=2πr²

พื้นที่ผิวทั้งหมดรวมฐาน=3πr²

โจทย์ต้องระบุให้ชัดว่ารวมฐานวงกลมหรือไม่

🔄

10. การเปลี่ยนขนาดรูปทรง

ความยาวเพิ่ม k เท่า → พื้นที่ผิวเพิ่ม k² เท่า
ความยาวเพิ่ม k เท่า → ปริมาตรเพิ่ม k³ เท่า

ด้านเพิ่ม 2 เท่า ⇒ พื้นที่ผิว 4 เท่า และปริมาตร 8 เท่า

💧

11. ความจุและการแปลงหน่วย

1 ลบ.ซม.=1 มิลลิลิตร

1,000 ลบ.ซม.=1 ลิตร

1 ลบ.ม.=1,000 ลิตร

โจทย์ถังน้ำมักต้องหาปริมาตรก่อน แล้วจึงแปลงเป็นลิตร

⚡

12. เทคนิคทำข้อสอบ

ดูว่าโจทย์ถามพื้นที่ผิวหรือปริมาตร
ระบุชนิดรูปทรงและค่าที่โจทย์ให้
หา r จาก d ก่อน เมื่อให้เส้นผ่านศูนย์กลาง
กรวยต้องแยก h กับ l ให้ชัด
รูปทรงประกอบให้บวกหรือลบปริมาตรทีละส่วน
ตรวจหน่วยกำลังสอง กำลังสาม และลิตร

✏️

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

ลูกบาศก์ด้าน 6 ซม. จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและปริมาตร
ดูเฉลย
พื้นที่ผิว=6×6²=216 ตร.ซม.
ปริมาตร=6³=216 ลบ.ซม.
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 10 กว้าง 5 สูง 4 ซม. มีปริมาตรเท่าใด
ดูเฉลย
10×5×4=200 ลบ.ซม.
ทรงกระบอกรัศมี 7 ซม. สูง 12 ซม. มีปริมาตรเท่าใด เมื่อใช้ π=22/7
ดูเฉลย
22/7×49×12=1,848 ลบ.ซม.
กรวยรัศมี 6 ซม. สูง 8 ซม. มีปริมาตรเท่าใด
ดูเฉลย
1/3×π×36×8=96π ลบ.ซม.
ทรงกลมรัศมี 4 ซม. มีพื้นที่ผิวเท่าใด
ดูเฉลย
4π×4²=64π ตร.ซม.

🎓

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ตอบแล้ว 0/30 ข้อ คะแนน 0/30

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ข้อ 1 ลูกบาศก์ด้านยาว 4 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 16 B. 32 C. 64 D. 96

ดูคำอธิบาย

ปริมาตรลูกบาศก์=s³=4³=64 ลบ.ซม.

ตอบ C

ข้อ 2 ลูกบาศก์ด้านยาว 5 ซม. มีพื้นที่ผิวทั้งหมดเท่าใด A. 25 B. 50 C. 100 D. 150

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวทั้งหมด=6s²=6×25=150 ตร.ซม.

ตอบ D

ข้อ 3 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 8 กว้าง 3 สูง 2 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 24 B. 36 C. 48 D. 52

ดูคำอธิบาย

V=lwh=8×3×2=48 ลบ.ซม.

ตอบ C

ข้อ 4 ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 6 กว้าง 4 สูง 3 ซม. มีพื้นที่ผิวทั้งหมดเท่าใด A. 54 B. 72 C. 96 D. 108

ดูคำอธิบาย

2(lw+lh+wh)=2(24+18+12)=108 ตร.ซม.

ตอบ D

ข้อ 5 ปริซึมมีพื้นที่ฐาน 20 ตร.ซม. สูง 7 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 27 B. 70 C. 140 D. 280

ดูคำอธิบาย

ปริมาตรปริซึม=พื้นที่ฐาน×สูง=20×7=140

ตอบ C

ข้อ 6 ทรงกระบอกรัศมี 3 ซม. สูง 5 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 15π B. 30π C. 45π D. 90π

ดูคำอธิบาย

V=πr²h=π×9×5=45π

ตอบ C

ข้อ 7 ทรงกระบอกรัศมี 4 ซม. สูง 6 ซม. มีพื้นที่ผิวข้างเท่าใด A. 24π B. 40π C. 48π D. 80π

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวข้าง=2πrh=2π×4×6=48π

ตอบ C

ข้อ 8 ทรงกระบอกรัศมี 2 ซม. สูง 5 ซม. มีพื้นที่ผิวทั้งหมดเท่าใด A. 20π B. 24π C. 28π D. 40π

ดูคำอธิบาย

2πr²+2πrh=8π+20π=28π

ตอบ C

ข้อ 9 กรวยรัศมี 3 ซม. สูง 4 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 4π B. 12π C. 24π D. 36π

ดูคำอธิบาย

V=1/3πr²h=1/3×π×9×4=12π

ตอบ B

ข้อ 10 พีระมิดมีพื้นที่ฐาน 30 ตร.ซม. สูง 9 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 90 B. 180 C. 270 D. 810

ดูคำอธิบาย

V=1/3×30×9=90

ตอบ A

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ข้อ 11 ทรงกลมรัศมี 3 ซม. มีพื้นที่ผิวเท่าใด A. 9π B. 18π C. 27π D. 36π

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวทรงกลม=4πr²=4π×9=36π

ตอบ D

ข้อ 12 ทรงกลมรัศมี 3 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 18π B. 27π C. 36π D. 54π

ดูคำอธิบาย

V=4/3πr³=4/3π×27=36π

ตอบ C

ข้อ 13 ครึ่งทรงกลมรัศมี 3 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 9π B. 18π C. 27π D. 36π

ดูคำอธิบาย

ครึ่งหนึ่งของ 36π เท่ากับ 18π

ตอบ B

ข้อ 14 ครึ่งทรงกลมรัศมี r มีพื้นที่ผิวโค้งเท่าใด A. πr² B. 2πr² C. 3πr² D. 4πr²

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวโค้งของครึ่งทรงกลม=2πr²

ตอบ B

ข้อ 15 ครึ่งทรงกลมรัศมี r มีพื้นที่ผิวทั้งหมดรวมฐานเท่าใด A. 2πr² B. 3πr² C. 4πr² D. 5πr²

ดูคำอธิบาย

ผิวโค้ง 2πr² บวกฐาน πr² รวม 3πr²

ตอบ B

ข้อ 16 ทรงกระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. สูง 8 ซม. ปริมาตรเท่าใด A. 80π B. 160π C. 200π D. 400π

ดูคำอธิบาย

รัศมี=5 ดังนั้น V=π×25×8=200π

ตอบ C

ข้อ 17 ทรงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 8 ซม. รัศมีเท่าใด A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

ดูคำอธิบาย

รัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ตอบ B

ข้อ 18 กรวยรัศมี 5 ซม. มีความสูงเอียง 13 ซม. สูงตรงเท่าใด A. 8 B. 10 C. 12 D. 18

ดูคำอธิบาย

ใช้พีทาโกรัส h²+5²=13² ได้ h=12

ตอบ C

ข้อ 19 พื้นที่ผิวข้างของกรวยรัศมี 5 ซม. สูงเอียง 13 ซม. เท่าใด A. 25π B. 60π C. 65π D. 130π

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวข้าง=πrl=π×5×13=65π

ตอบ C

ข้อ 20 พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยรัศมี 5 ซม. สูงเอียง 13 ซม. เท่าใด A. 65π B. 75π C. 90π D. 130π

ดูคำอธิบาย

πrl+πr²=65π+25π=90π

ตอบ C

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

ข้อ 21 ถังทรงกระบอกรัศมี 7 ซม. สูง 10 ซม. จุน้ำได้เท่าใด เมื่อใช้ π=22/7 A. 770 B. 1,100 C. 1,540 D. 3,080

ดูคำอธิบาย

V=22/7×49×10=1,540 ลบ.ซม.

ตอบ C

ข้อ 22 กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีปริมาตร 240 ลบ.ซม. ยาว 10 กว้าง 6 สูงเท่าใด A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

ดูคำอธิบาย

h=240÷(10×6)=4

ตอบ B

ข้อ 23 ลูกบาศก์มีปริมาตร 125 ลบ.ซม. ด้านยาวเท่าใด A. 3 B. 4 C. 5 D. 25

ดูคำอธิบาย

∛125=5

ตอบ C

ข้อ 24 ทรงกระบอกมีปริมาตร 308 ลบ.ซม. สูง 2 ซม. เมื่อใช้ π=22/7 รัศมีเท่าใด A. 3 B. 5 C. 7 D. 11

ดูคำอธิบาย

308=22/7×r²×2 ได้ r²=49 ดังนั้น r=7

ตอบ C

ข้อ 25 ปริซึมสามเหลี่ยมมีฐานสามเหลี่ยมฐาน 6 สูง 4 ซม. และความยาวปริซึม 10 ซม. ปริมาตรเท่าใด A. 60 B. 120 C. 180 D. 240

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม=1/2×6×4=12 แล้วคูณ 10 ได้ 120

ตอบ B

ข้อ 26 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 6 ซม. สูง 10 ซม. มีปริมาตรเท่าใด A. 60 B. 120 C. 180 D. 360

ดูคำอธิบาย

V=1/3×36×10=120

ตอบ B

ข้อ 27 ทรงกรวยและทรงกระบอกมีฐานและสูงเท่ากัน ปริมาตรกรวยเป็นกี่เท่าของทรงกระบอก A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 3

ดูคำอธิบาย

กรวยมีปริมาตรหนึ่งในสามของทรงกระบอก

ตอบ B

ข้อ 28 ทรงกลมรัศมี 6 ซม. มีปริมาตรเป็นกี่เท่าของทรงกลมรัศมี 3 ซม. A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

ดูคำอธิบาย

ปริมาตรแปรตาม r³ ดังนั้น (6/3)³=8

ตอบ D

ข้อ 29 ถ้าขยายลูกบาศก์ให้ด้านยาวเป็น 2 เท่า ปริมาตรจะเป็นกี่เท่า A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

ดูคำอธิบาย

ปริมาตรแปรตามกำลังสามของความยาว

ตอบ D

ข้อ 30 ถ้าขยายทรงกลมให้รัศมีเป็น 3 เท่า พื้นที่ผิวจะเป็นกี่เท่า A. 3 B. 6 C. 9 D. 27

ดูคำอธิบาย

พื้นที่ผิวแปรตาม r² ดังนั้น 3²=9

ตอบ C

📌

15. สรุป

ลูกบาศก์: SA=6s², V=s³

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก: SA=2(lw+lh+wh), V=lwh

ปริซึม: V=Bh

ทรงกระบอก: V=πr²h

พีระมิดและกรวย: V=1/3Bh

ทรงกลม: SA=4πr², V=4/3πr³

พื้นที่ผิวใช้หน่วยกำลังสอง
ปริมาตรใช้หน่วยกำลังสาม
1,000 ลบ.ซม. เท่ากับ 1 ลิตร
กรวยใช้ความสูงตรงในสูตรปริมาตร
ความยาวเพิ่ม k เท่า ปริมาตรเพิ่ม k³ เท่า

จำเป็นขั้นตอน

ระบุรูปทรง → เลือกสูตร → ตรวจรัศมีและความสูง → แทนค่า → ตรวจหน่วย → สรุปคำตอบ

EP24 : พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติ

เส้นทางสู่เป้าหมาย

พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติ

1. ปัญหานำ

2. ลูกบาศก์

3. ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

4. ปริซึม

5. ทรงกระบอก

6. พีระมิด

7. กรวย

8. ทรงกลม

9. ครึ่งทรงกลม

10. การเปลี่ยนขนาดรูปทรง

11. ความจุและการแปลงหน่วย

12. เทคนิคทำข้อสอบ

13. แบบฝึกหัด 5 ข้อ

14. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ

ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10

ระดับปานกลาง ข้อ 11–20

ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30

15. สรุป

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?