ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP31
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP30 สมบัติพื้นฐานของจำนวนจริงและระบบจำนวน

ทบทวนระบบจำนวนจริง จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ พร้อมสมบัติปิด สลับที่ เปลี่ยนหมู่ แจกแจง เอกลักษณ์ และอินเวอร์ส

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP30 • Exam-Driven Mathematics

สมบัติพื้นฐานของจำนวนจริงและระบบจำนวน

ทบทวนชนิดของจำนวน ความสัมพันธ์ระหว่างระบบจำนวน สมบัติปิด สลับที่ เปลี่ยนหมู่ แจกแจง เอกลักษณ์ และอินเวอร์ส พร้อมฝึกพิจารณาข้อความถูก–ผิดที่พบบ่อยในข้อสอบ

เป้าหมายของบท

จำแนกชนิดของจำนวนได้ ตรวจสอบสมบัติของการบวก ลบ คูณ และหารได้ และวิเคราะห์ข้อความเกี่ยวกับจำนวนจริงได้อย่างมีเหตุผล

🧠

1. ระบบจำนวนที่ต้องรู้

1.1 จำนวนนับ

\[ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\} \]

ใช้สำหรับการนับสิ่งของ บางตำราอาจกำหนดให้ \(0\) อยู่ในจำนวนนับด้วย จึงควรดูนิยามที่โจทย์กำหนด

1.2 จำนวนเต็ม

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} \]

จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนเต็มลบ ศูนย์ และจำนวนเต็มบวก

1.3 จำนวนตรรกยะ

\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \,\middle|\, a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq0 \right\} \]

จำนวนตรรกยะเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ และอยู่ในรูปทศนิยมสิ้นสุดหรือทศนิยมซ้ำ

\[ 1.6=\frac{16}{10}=\frac{8}{5} \]
\[ 0.333\ldots=\frac{1}{3} \]

1.4 จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะไม่สามารถเขียนในรูป \(\frac{a}{b}\) เมื่อ \(a,b\) เป็นจำนวนเต็มได้

\[ \sqrt{2},\quad \sqrt{3},\quad \pi \]

1.5 จำนวนจริง

\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' \]

จำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

🔗

2. ความสัมพันธ์ของระบบจำนวน

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

หมายความว่า

  • จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
  • จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ
  • จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

ทำไมจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็ม \(n\) ทุกจำนวนเขียนได้เป็น

\[ n=\frac{n}{1} \]

เช่น

\[ -5=\frac{-5}{1} \]
ทิศทางกลับไม่จริงเสมอ

จำนวนตรรกยะไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม เช่น \(\frac{1}{2}\) และ \(1.6\)

↔️

3. จำนวนที่มากที่สุดและน้อยที่สุด

ระบบจำนวนเต็มและจำนวนจริง ไม่มีจำนวนที่มากที่สุดและไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุด

สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ \(n\) จะมีจำนวนเต็มที่น้อยกว่าเสมอ คือ

\[ n-1<n \]

และมีจำนวนเต็มที่มากกว่าเสมอ คือ

\[ n+1>n \]
ข้อความที่มักหลอก

“จำนวนที่น้อยที่สุดคือศูนย์” เป็นข้อความผิด เพราะยังมีจำนวนลบที่น้อยกว่าศูนย์

🔒

4. สมบัติปิด

การดำเนินการมีสมบัติปิดในระบบจำนวนหนึ่ง เมื่อเลือกสมาชิกสองจำนวนในระบบนั้นมาดำเนินการ แล้วผลลัพธ์ยังอยู่ในระบบเดิมเสมอ

4.1 จำนวนเต็ม

\[ a,b\in\mathbb{Z} \]

การบวกมีสมบัติปิด

\[ a+b\in\mathbb{Z} \]

การลบมีสมบัติปิด

\[ a-b\in\mathbb{Z} \]

การคูณมีสมบัติปิด

\[ ab\in\mathbb{Z} \]

แต่การหารไม่มีสมบัติปิด

\[ 1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \]

4.2 จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะมีสมบัติปิดภายใต้การบวก ลบ และคูณ และมีสมบัติปิดภายใต้การหารเมื่อตัวหารไม่เป็นศูนย์

\[ a,b\in\mathbb{Q},\quad b\neq0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q} \]

4.3 จำนวนจริง

จำนวนจริงมีสมบัติปิดภายใต้การบวก ลบ คูณ และการหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์

หารด้วยศูนย์ไม่ได้
\[ \frac{a}{0} \text{ ไม่มีความหมาย} \]
🔄

5. สมบัติการสลับที่

การบวก

\[ a+b=b+a \]

การคูณ

\[ ab=ba \]

แต่การลบและการหารไม่มีสมบัติการสลับที่

\[ 7-3\neq3-7 \]
\[ 8\div2\neq2\div8 \]
จำง่าย

บวกและคูณสลับที่ได้ แต่ลบและหารสลับที่ไม่ได้

🧩

6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่

การบวก

\[ (a+b)+c=a+(b+c) \]

การคูณ

\[ (ab)c=a(bc) \]

การลบและการหารไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

\[ (10-5)-2=3 \]
\[ 10-(5-2)=7 \]

ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน

อย่าสับสน

การสลับที่คือเปลี่ยนลำดับของจำนวน ส่วนการเปลี่ยนหมู่คือเปลี่ยนตำแหน่งวงเล็บ

✖️

7. สมบัติการแจกแจง

\[ a(b+c)=ab+ac \]
\[ a(b-c)=ab-ac \]

ตัวอย่าง

\[ 3(4+5) = 3(4)+3(5) \]
\[ 27=12+15 \]
ใช้ย้อนกลับเพื่อแยกตัวประกอบ
\[ ab+ac=a(b+c) \]
0️⃣

8. เอกลักษณ์ของการบวก

ศูนย์เป็นเอกลักษณ์ของการบวก เพราะนำไปบวกกับจำนวนใดแล้วได้จำนวนเดิม

\[ a+0=0+a=a \]

ตัวอย่าง

\[ -7+0=-7 \]
ระวังคำศัพท์

ศูนย์เป็นเอกลักษณ์ของการบวก แต่ไม่ใช่อินเวอร์สของการบวกของทุกจำนวน

1️⃣

9. เอกลักษณ์ของการคูณ

หนึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ

\[ a(1)=1(a)=a \]

ตัวอย่าง

\[ 8(1)=8 \]
เปรียบเทียบ
  • \(0\) เป็นเอกลักษณ์ของการบวก
  • \(1\) เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ
➖

10. อินเวอร์สของการบวก

อินเวอร์สของการบวกของ \(a\) คือ \(-a\) เพราะผลบวกเป็นเอกลักษณ์ของการบวก

\[ a+(-a)=0 \]

ตัวอย่าง

\[ 5+(-5)=0 \]
\[ -3+3=0 \]
🔁

11. อินเวอร์สของการคูณ

อินเวอร์สของการคูณของ \(a\neq0\) คือ \(\frac{1}{a}\) เพราะผลคูณเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ

\[ a\left(\frac{1}{a}\right)=1 \]

ตัวอย่าง

\[ 5\left(\frac{1}{5}\right)=1 \]
ศูนย์ไม่มีอินเวอร์สของการคูณ

ไม่มีจำนวนใดที่คูณกับศูนย์แล้วได้ 1

\[ 0\left(\frac{1}{0}\right) \text{ ใช้ไม่ได้} \]
√

12. จำนวนตรรกยะและอตรรกยะที่ชอบออกสอบ

รากที่สองของจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

\[ \sqrt{4}=2,\quad \sqrt{9}=3,\quad \sqrt{25}=5 \]

ค่าเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ

รากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

\[ \sqrt{2},\quad \sqrt{5},\quad \sqrt{7} \]

ค่าเหล่านี้เป็นจำนวนอตรรกยะ

ผลบวกของตรรกยะกับอตรรกยะ

\[ 2+\sqrt{3} \]

เป็นจำนวนอตรรกยะ

ผลคูณที่ต้องพิจารณาเป็นกรณี

\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 \]

จำนวนอตรรกยะสองจำนวนอาจคูณกันแล้วได้จำนวนตรรกยะ จึงห้ามสรุปว่าผลคูณของอตรรกยะต้องเป็นอตรรกยะเสมอ

⚡

13. ตารางจำก่อนสอบ

ในระบบจำนวนเต็ม

\[ \begin{array}{c|c} \text{การดำเนินการ}&\text{สมบัติปิด}\\ \hline +&\text{มี}\\ -&\text{มี}\\ \times&\text{มี}\\ \div&\text{ไม่มี} \end{array} \]

สมบัติสลับที่

\[ +,\ \times \text{ สลับที่ได้} \]
\[ -,\ \div \text{ สลับที่ไม่ได้} \]

สมบัติเปลี่ยนหมู่

\[ +,\ \times \text{ เปลี่ยนหมู่ได้} \]
\[ -,\ \div \text{ เปลี่ยนหมู่ไม่ได้} \]

เอกลักษณ์

\[ a+0=a \]
\[ a(1)=a \]
❓

14. ปัญหานำ

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

  1. จำนวนที่น้อยที่สุดคือศูนย์
  2. \(1.6\) เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม
  3. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ
  4. การคูณและการหารมีสมบัติปิดในระบบจำนวนเต็ม

มีข้อความที่ถูกต้องทั้งหมดกี่ข้อความ

  1. 1 ข้อความ
  2. 2 ข้อความ
  3. 3 ข้อความ
  4. ไม่มีข้อความใดถูกต้อง
วางแผนก่อนทำ

ตรวจทีละข้อความ โดยหาเหตุผลหรือตัวอย่างโต้แย้ง ไม่ควรตัดสินจากความคุ้นเคยเพียงอย่างเดียว

✅

15. วิเคราะห์ปัญหานำ

ข้อความ ก

“จำนวนที่น้อยที่สุดคือศูนย์”

เป็นข้อความผิด เพราะมีจำนวนลบที่น้อยกว่าศูนย์

\[ -1<0,\quad -2<-1,\quad -3<-2 \]

จำนวนเต็มและจำนวนจริงไม่มีจำนวนที่น้อยที่สุด

ข้อความ ข

“\(1.6\) เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม”

\[ 1.6=\frac{8}{5} \]

\(1.6\) เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ข้อความทั้งหมดจึงผิด

ข้อความ ค

“จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ”

\[ n=\frac{n}{1} \]

จำนวนเต็มทุกจำนวนเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ข้อความนี้จึงถูก

ข้อความ ง

“การคูณและการหารมีสมบัติปิดในระบบจำนวนเต็ม”

การคูณมีสมบัติปิด แต่การหารไม่มีสมบัติปิด

\[ 1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z} \]

ข้อความนี้จึงผิด

คำตอบ

ถูกเพียงข้อความ ค รวมทั้งหมด 1 ข้อความ

ตอบ ข้อ 1

🧭

16. เทคนิคพิจารณาข้อความถูก–ผิด

เทคนิคที่ 1 มองหาคำว่า “ทุกจำนวน”

ถ้าข้อความกล่าวว่าเป็นจริงทุกจำนวน เพียงหาตัวอย่างที่ไม่เป็นจริงหนึ่งตัว ก็หักล้างข้อความได้

เทคนิคที่ 2 แยกข้อความที่มีคำว่า “และ”

ข้อความ “\(1.6\) เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนเต็ม” จะถูกก็ต่อเมื่อทั้งสองส่วนถูกพร้อมกัน

เทคนิคที่ 3 ทดสอบสมบัติปิดด้วยตัวอย่างง่าย

\[ 1\div2=\frac{1}{2} \]

ตัวอย่างเดียวแสดงได้ทันทีว่า การหารไม่มีสมบัติปิดในจำนวนเต็ม

เทคนิคที่ 4 ใช้แผนภาพระบบจำนวนในใจ

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
⚠️

17. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • คิดว่าศูนย์เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด
  • คิดว่าทศนิยมทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
  • คิดว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
  • คิดว่าการหารจำนวนเต็มสองจำนวนต้องได้จำนวนเต็ม
  • สับสนสมบัติสลับที่กับสมบัติเปลี่ยนหมู่
  • คิดว่าศูนย์มีอินเวอร์สของการคูณ
  • คิดว่าผลคูณของจำนวนอตรรกยะต้องเป็นอตรรกยะเสมอ
หลักสำคัญ

ข้อความที่มีคำว่า “ทุกจำนวน” หรือ “เสมอ” ต้องถูกทุกกรณี หากพบข้อยกเว้นเพียงหนึ่งกรณี ข้อความนั้นเป็นเท็จทันที

✏️

18. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จำนวน \(-7\) เป็นสมาชิกของระบบจำนวนใดบ้าง

    ดูเฉลย

    \(-7\) เป็นจำนวนเต็ม เขียนเป็น \(\frac{-7}{1}\) ได้ จึงเป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนจริงด้วย

    \[ -7\in\mathbb{Z},\quad -7\in\mathbb{Q},\quad -7\in\mathbb{R} \]

  2. การลบมีสมบัติการสลับที่หรือไม่

    ดูเฉลย
    \[ 5-2=3 \]
    \[ 2-5=-3 \]

    ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน การลบจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

  3. อินเวอร์สของการบวกของ \(-8\) คือจำนวนใด

    ดูเฉลย
    \[ -8+8=0 \]

    ตอบ \(8\)

  4. อินเวอร์สของการคูณของ \(\frac{3}{5}\) คือจำนวนใด

    ดูเฉลย
    \[ \frac{3}{5} \left(\frac{5}{3}\right) =1 \]

    ตอบ \(\frac{5}{3}\)

  5. ข้อความ “ผลคูณของจำนวนอตรรกยะสองจำนวน เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ” ถูกหรือผิด

    ดูเฉลย
    \[ \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 \]

    ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ จึงพบตัวอย่างโต้แย้ง

    ตอบ ผิด

🎓

19. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. จำนวนที่น้อยที่สุดคือศูนย์

ข. \(1.6\) เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม

ค. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

ง. การคูณและการหารมีสมบัติปิด ในระบบจำนวนเต็ม

มีข้อความที่ถูกต้องทั้งหมดกี่ข้อความ

ดูคำอธิบาย
  • ก ผิด เพราะมีจำนวนลบที่น้อยกว่าศูนย์
  • ข ผิด เพราะ \(1.6\) เป็นตรรกยะแต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
  • ค ถูก เพราะ \(n=\frac{n}{1}\)
  • ง ผิด เพราะการหารไม่มีสมบัติปิดในจำนวนเต็ม

ถูกเพียง 1 ข้อความ

ตอบ A

ข้อ 2 ข้อใดไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

ดูคำอธิบาย

\(-5\), \(0.25=\frac14\) และ \(\frac79\) เป็นจำนวนตรรกยะ

\(\sqrt3\) เป็นจำนวนอตรรกยะ

ตอบ C

ข้อ 3 การดำเนินการใดไม่มีสมบัติปิด ในระบบจำนวนเต็ม

ดูคำอธิบาย
\[ 1\div2=\frac12\notin\mathbb{Z} \]

การหารจึงไม่มีสมบัติปิดในระบบจำนวนเต็ม

ตอบ D

ข้อ 4 ข้อใดแสดงสมบัติการแจกแจง

ดูคำอธิบาย
\[ a(b+c)=ab+ac \]

เป็นสมบัติการแจกแจงของการคูณเหนือการบวก

ตอบ B

ข้อ 5 อินเวอร์สของการคูณของ \(-4\) คือข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ (-4)\left(-\frac14\right)=1 \]

ดังนั้นอินเวอร์สของการคูณของ \(-4\) คือ \(-\frac14\)

ตอบ A

📌

20. สรุปก่อนจบบท

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
\[ a+b=b+a,\qquad ab=ba \]
\[ (a+b)+c=a+(b+c) \]
\[ (ab)c=a(bc) \]
\[ a(b+c)=ab+ac \]
\[ a+0=a,\qquad a(1)=a \]
\[ a+(-a)=0 \]
\[ a\left(\frac1a\right)=1, \qquad a\neq0 \]
  • ฉันจำแนกจำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และอตรรกยะได้
  • ฉันเข้าใจความสัมพันธ์ของระบบจำนวน
  • ฉันตรวจสอบสมบัติปิดได้
  • ฉันแยกสมบัติสลับที่และเปลี่ยนหมู่ได้
  • ฉันใช้สมบัติการแจกแจงได้
  • ฉันหาเอกลักษณ์และอินเวอร์สได้
  • ฉันใช้ตัวอย่างโต้แย้งตรวจข้อความที่กล่าวว่า “เสมอ” ได้
หัวใจของบท

เมื่อโจทย์ให้พิจารณาข้อความถูก–ผิด ให้ตรวจนิยามและลองหาตัวอย่างโต้แย้ง โดยเฉพาะข้อความที่มีคำว่า “ทุกจำนวน” “เสมอ” หรือ “มีสมบัติปิด”

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP30 · EP30 ประพจน์สมมูลและเทคนิคแปลงรูปทางตรรกศาสตร์ จบหัวข้อนี้ กลับหน้ารวมบทเรียน