ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ และการปฏิเสธข้อความ
เรียนรู้ข้อความที่มีตัวแปร แล้วเปลี่ยนให้เป็นประพจน์ด้วยคำว่า “ทุกค่า” หรือ “มีอย่างน้อยหนึ่งค่า”
แยกประโยคเปิด หาเซตคำตอบ อ่านตัวบ่งปริมาณ และเขียนนิเสธของข้อความเชิงปริมาณได้ถูกต้อง
1. ปัญหานำ
ข้อความ “x+2=7” เป็นจริงหรือเท็จ
ยังตอบไม่ได้จนกว่าจะทราบค่า x จึงเรียกว่า ประโยคเปิด
2. ประโยคเปิด
ประโยคเปิดคือข้อความที่มีตัวแปร และยังไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ทันที
เมื่อแทนค่า x ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์
ประพจน์มีค่าความจริงแน่นอน แต่ประโยคเปิดขึ้นอยู่กับค่าตัวแปร
3. เซตคำตอบ
เซตคำตอบคือเซตของค่าตัวแปรที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง
ต้องพิจารณาเอกภพสัมพัทธ์ด้วย เช่น จำนวนเต็มหรือจำนวนจริง
4. ตัวบ่งปริมาณสากล
อ่านว่า “สำหรับทุก x ประพจน์ P(x) เป็นจริง”
ข้อความนี้จริง เพราะกำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนไม่ติดลบ
5. ตัวบ่งปริมาณมีอยู่
อ่านว่า “มีอย่างน้อยหนึ่ง x ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง”
ข้อความนี้จริง เพราะ x=2 หรือ x=−2
6. นิเสธของ “ทุกค่า”
นิเสธของ “ทุกคนผ่าน” คือ “มีอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ผ่าน”
ไม่ใช่ทุกคน = มีบางคนไม่
7. นิเสธของ “มีบางค่า”
นิเสธของ “มีนักเรียนบางคนมาสาย” คือ “ไม่มีนักเรียนคนใดมาสาย”
ไม่มีสักคน = ทุกคนไม่
8. ตัวอย่างโต้แย้ง
ข้อความสากลจะเป็นเท็จทันที หากพบตัวอย่างเพียงหนึ่งค่าที่ทำให้ข้อความไม่จริง
จึงสรุปว่าข้อความเดิมเป็นเท็จ
9. วิธีพิสูจน์ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ
- พิสูจน์ ∀x P(x): เลือก x ใด ๆ แล้วแสดงว่า P(x) จริง
- พิสูจน์ ∃x P(x): แสดงตัวอย่างอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทำให้จริง
- หักล้าง ∀x P(x): หาตัวอย่างโต้แย้งหนึ่งค่า
- หักล้าง ∃x P(x): แสดงว่าไม่มีค่าใดทำให้จริง
10. ลำดับของตัวบ่งปริมาณ
จริงในจำนวนจริง เพราะทุก x เลือก y=x+1 ได้
เท็จ เพราะไม่มีจำนวนจริงตัวเดียวที่มากกว่าทุกจำนวนจริง
การสลับลำดับ ∀ และ ∃ อาจเปลี่ยนค่าความจริง
11. การปฏิเสธหลายตัวบ่งปริมาณ
เมื่อปฏิเสธ ให้สลับตัวบ่งปริมาณทีละตัวและปฏิเสธประพจน์ด้านใน
12. แปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์
“จำนวนคู่ทุกจำนวนหารด้วย 2 ลงตัว”
“มีจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ 9”
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- ระบุเอกภพสัมพัทธ์ก่อน
- แยกว่าข้อความใช้ “ทุก” หรือ “มีบาง”
- นิเสธแล้วต้องสลับ ∀ กับ ∃
- ปฏิเสธประพจน์ด้านในให้ครบ
- ข้อความสากลเท็จ ใช้ตัวอย่างโต้แย้งเพียงหนึ่งค่า
- ข้อความมีอยู่จริง ใช้ตัวอย่างเพียงหนึ่งค่าพิสูจน์ได้
- ระวังลำดับของตัวบ่งปริมาณหลายตัว
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
จงหาเซตคำตอบของ x²=16 ในจำนวนจริง
ดูเฉลย
{−4,4}
จงเขียนนิเสธของ “นักเรียนทุกคนส่งงาน”
ดูเฉลย
มีนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ส่งงาน
จงเขียนนิเสธของ “มีจำนวนเต็มบางจำนวนที่มากกว่า 100”
ดูเฉลย
จำนวนเต็มทุกจำนวนไม่มากกว่า 100
ข้อความ “จำนวนจริงทุกจำนวนมีค่ากำลังสองเป็นบวก” จริงหรือเท็จ
ดูเฉลย
x=0 ทำให้ x²=0 ซึ่งไม่เป็นบวก
เท็จ
นิเสธของ ∀x∃y, x+y=0 คือข้อใด
ดูเฉลย
∃x∀y, x+y≠0
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- ประโยคเปิดยังไม่มีค่าความจริงจนกว่าจะกำหนดตัวแปร
- เซตคำตอบคือค่าที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นจริง
- ข้อความทุกค่าเท็จได้ด้วยตัวอย่างโต้แย้งหนึ่งค่า
- ข้อความมีอยู่จริงพิสูจน์ได้ด้วยตัวอย่างหนึ่งค่า
- ลำดับของ ∀ และ ∃ เปลี่ยนความหมายได้
กำหนดเอกภพ → ระบุตัวบ่งปริมาณ → ตรวจค่าความจริง → สลับตัวบ่งเมื่อปฏิเสธ → ตรวจด้วยตัวอย่าง