สถิติเบื้องต้น ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
ฝึกสรุปข้อมูลด้วยค่ากลาง และวิเคราะห์ว่าข้อมูลกระจายตัวมากหรือน้อยเพียงใด
คำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ควอร์ไทล์ และเลือกใช้ค่าทางสถิติได้เหมาะสม
1. ปัญหานำ
คะแนนของนักเรียน 5 คนคือ 10,12,14,16 และ 48 คะแนน ควรใช้ค่าใดแทนคะแนนส่วนใหญ่ของกลุ่ม
ค่า 48 สูงผิดปกติและดึงค่าเฉลี่ยขึ้น จึงควรใช้มัธยฐานแทนค่ากลางของข้อมูลชุดนี้
2. ข้อมูลและความถี่
ข้อมูลคือค่าที่รวบรวมจากการสังเกตหรือวัดผล
- ข้อมูลดิบ: ค่าที่ยังไม่ได้จัดกลุ่ม
- ความถี่: จำนวนครั้งที่ค่านั้นปรากฏ
- ตารางแจกแจงความถี่: ช่วยสรุปข้อมูลจำนวนมาก
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ตัวอย่าง 4,6,8 มีค่าเฉลี่ย (4+6+8)/3=6
ค่าเฉลี่ยได้รับผลจากค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติมาก
4. มัธยฐาน
มัธยฐานคือค่าตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
- จำนวนข้อมูลคี่: เลือกค่ากลาง
- จำนวนข้อมูลคู่: เฉลี่ยสองค่ากลาง
5. ฐานนิยม
ฐานนิยมคือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด
ข้อมูลอาจไม่มีฐานนิยม หรือมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่าได้
6. พิสัย
เป็นวิธีวัดการกระจายที่ง่ายที่สุด
7. ควอร์ไทล์
ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็น 4 ส่วน
- Q1 คือมัธยฐานของครึ่งล่าง
- Q2 คือมัธยฐานของข้อมูลทั้งหมด
- Q3 คือมัธยฐานของครึ่งบน
8. ค่าผิดปกติด้วย IQR
ค่าที่ต่ำกว่าขอบล่างหรือสูงกว่าขอบบน อาจเป็นค่าผิดปกติ
9. ความแปรปรวน
ความแปรปรวนวัดค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะห่างจากค่าเฉลี่ย
การยกกำลังสองทำให้ค่าติดลบไม่หักล้างกับค่าบวก
10. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
มีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม จึงแปลความหมายง่ายกว่าความแปรปรวน
ค่ายิ่งน้อย ข้อมูลยิ่งสม่ำเสมอ ค่ายิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย
11. ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก
ใช้เมื่อคะแนนหรือข้อมูลแต่ละส่วนมีความสำคัญไม่เท่ากัน
12. ผลของการเปลี่ยนข้อมูล
- บวกค่าคงที่ c ทุกตัว ⇒ ค่าเฉลี่ยและมัธยฐานเพิ่ม c
- คูณทุกตัวด้วย k ⇒ ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคูณ |k|
- บวกค่าคงที่ทุกตัว ⇒ พิสัยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เปลี่ยน
13. เทคนิคทำข้อสอบ
- เรียงข้อมูลก่อนหามัธยฐานและควอร์ไทล์
- ค่าเฉลี่ยย้อนกลับเป็นผลรวมได้ด้วย x̄×n
- มีค่าผิดปกติให้พิจารณามัธยฐาน
- ฐานนิยมดูค่าที่ซ้ำมากที่สุด
- พิสัยใช้เพียงค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด
- การกระจายเปรียบเทียบด้วย IQR หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
14. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
ข้อมูล 5,7,8,10,15 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และพิสัย
ดูเฉลย
ค่าเฉลี่ย=(5+7+8+10+15)/5=9
มัธยฐาน=8
พิสัย=15−5=10
ตอบ ค่าเฉลี่ย 9 มัธยฐาน 8 พิสัย 10
ข้อมูล 2,3,3,4,5,5,5,6 จงหาฐานนิยม
ดูเฉลย
ฐานนิยม=5
ข้อมูล 1,3,5,7,9,11,13 จงหา Q1, Q2 และ Q3
ดูเฉลย
Q2=7
ครึ่งล่าง 1,3,5 ⇒ Q1=3
ครึ่งบน 9,11,13 ⇒ Q3=11
ตอบ Q1=3, Q2=7, Q3=11
นักเรียน 6 คนมีคะแนนเฉลี่ย 18 คะแนน ผลรวมคะแนนทั้งหมดเท่าใด
ดูเฉลย
18×6=108 คะแนน
คะแนนสอบ 70 น้ำหนัก 50% งาน 80 น้ำหนัก 30% และจิตพิสัย 90 น้ำหนัก 20% คะแนนรวมเท่าใด
ดูเฉลย
70(0.5)+80(0.3)+90(0.2)
=35+24+18
ตอบ 77 คะแนน
15. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
16. สรุป
- ค่าเฉลี่ยใช้ข้อมูลทุกค่า
- มัธยฐานทนต่อค่าผิดปกติได้ดีกว่า
- ฐานนิยมใช้ได้กับข้อมูลเชิงประเภท
- IQR วัดการกระจายของข้อมูลกึ่งกลาง 50%
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยิ่งมาก ข้อมูลยิ่งกระจาย
เรียงข้อมูล → เลือกค่ากลาง → คำนวณการกระจาย → ตรวจค่าผิดปกติ → แปลความหมาย