เพาเวอร์เซตและผลต่างสมมาตรของเซต
ฝึกแยกความแตกต่างระหว่าง “สมาชิกของเซต” และ “สับเซต” พร้อมใช้จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต และผลต่างสมมาตรแก้โจทย์แนวข้อสอบ
หาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตได้ ตรวจว่าสมาชิกใดของ A อยู่ใน P(A) และคำนวณจำนวนสมาชิกของผลต่างสมมาตรได้
ปัญหานำจากแนวข้อสอบ
กำหนดให้
จงหาจำนวนสมาชิกของเซต
- 60
- 61
- 62
- 63
- A มีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว?
- P(A) มีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว?
- สมาชิกตัวใดของ A เป็นสับเซตของ A ด้วย?
- นิพจน์นี้นับสมาชิกที่อยู่ร่วมกันหรือไม่นับ?
1. สมาชิกกับสับเซตต่างกันอย่างไร
สมาชิกของเซต
หมายถึง x เป็นสมาชิกตัวหนึ่งที่อยู่ภายในเซต A
สับเซตของเซต
หมายถึงสมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A
สัญลักษณ์ ∈ ใช้เปรียบเทียบ “สมาชิกกับเซต”
ส่วน ⊆ ใช้เปรียบเทียบ “เซตกับเซต”
ตัวอย่าง
ในตัวอย่างนี้ {0} เป็นทั้งสมาชิกของ A และเป็นสับเซตของ A
2. เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) หมายถึงเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก
หาก A มีสมาชิก n ตัว เพาเวอร์เซตของ A จะมีสมาชิก
ตัวอย่าง
สับเซตทั้งหมดของ B คือ
เซตว่าง ∅ เป็นสับเซตของทุกเซต ดังนั้น ∅ จะเป็นสมาชิกของ P(A) เสมอ
3. ผลต่างสมมาตรของเซต
นิพจน์
เรียกว่า ผลต่างสมมาตร หมายถึงสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B เพียงเซตใดเซตหนึ่ง แต่ไม่อยู่ร่วมกันทั้งสองเซต
สูตรหาจำนวนสมาชิกคือ
สมาชิกใน A ∩ B ถูกนับครั้งหนึ่งใน n(A) และอีกครั้งใน n(B) แต่ผลต่างสมมาตรไม่ต้องการสมาชิกส่วนร่วมเลย จึงต้องลบออกทั้งหมด 2 ครั้ง
4. วิเคราะห์เซต A
สมาชิกของ A มีทั้งหมด 6 ตัว ได้แก่
- ∅
- {∅}
- 0
- {0}
- 1
- {0,∅}
ดังนั้นจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตคือ
0 กับ {0} เป็นคนละสมาชิกกัน
∅ กับ {∅} ก็เป็นคนละสมาชิกกัน
5. หา A ∩ P(A)
สมาชิกของ A จะอยู่ใน P(A) ได้ ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวนั้น เป็นเซตและเป็นสับเซตของ A
ตรวจทีละสมาชิก
เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
เพราะ ∅ ∈ A ดังนั้น {∅} ⊆ A
เพราะ 0 ∈ A ดังนั้น {0} ⊆ A
เพราะทั้ง 0 และ ∅ เป็นสมาชิกของ A ดังนั้น {0,∅} ⊆ A
ส่วน 0 และ 1 เป็นตัวเลข ไม่ใช่เซตที่เขียนเป็นสับเซตของ A ในบริบทของโจทย์นี้
6. กลับมาแก้ปัญหานำ
ต้องหาจำนวนสมาชิกของ
ซึ่งเป็นผลต่างสมมาตรระหว่าง P(A) กับ A
แทนค่า
จำนวนสมาชิกของ (P(A) − A) ∪ (A − P(A)) เท่ากับ 62
7. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น
- คิดว่า ∅ กับ {∅} เป็นสิ่งเดียวกัน
- คิดว่า 0 กับ {0} เป็นสิ่งเดียวกัน
- นับจำนวนสมาชิกของ P(A) เป็น 2n แทน 2n
- นำสมาชิกทุกตัวของ A ไปนับใน P(A)
- ลบส่วนร่วมเพียงครั้งเดียวในผลต่างสมมาตร
8. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ
-
กำหนดให้ B = {1,2,3} จงหา n(P(B))
ดูเฉลย
n(B) = 3n(P(B)) = 2³ = 8ตอบ 8
-
กำหนดให้ C = {∅,1} สมาชิกใดของ C อยู่ใน P(C)
ดูเฉลย
∅ เป็นสับเซตของทุกเซต จึงมี ∅ ∈ P(C)
ส่วน 1 ไม่ใช่เซตที่เป็นสับเซตของ C
C ∩ P(C) = {∅}ตอบ ∅
-
กำหนดให้ D = {∅,{∅}} จงหา n(D ∩ P(D))
ดูเฉลย
∅ เป็นสับเซตของ D
{∅} เป็นสับเซตของ D เพราะ ∅ ∈ D
D ∩ P(D) = {∅,{∅}}n(D ∩ P(D)) = 2ตอบ 2
-
ถ้า n(E) = 5 แล้ว P(E) มีสมาชิกกี่ตัว
ดูเฉลย
n(P(E)) = 2⁵ = 32ตอบ 32
-
กำหนดให้ n(X) = 10, n(Y) = 8 และ n(X ∩ Y) = 3 จงหา n(X △ Y)
ดูเฉลย
n(X △ Y) = n(X) + n(Y) − 2n(X ∩ Y)= 10 + 8 − 2(3) = 12ตอบ 12
9. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ
10. สรุปก่อนจบบท
- ฉันแยกความแตกต่างระหว่าง ∈ และ ⊆ ได้
- ฉันแยก ∅ ออกจาก {∅} ได้
- ฉันแยก 0 ออกจาก {0} ได้
- ฉันหาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตได้
- ฉันหาจำนวนสมาชิกของผลต่างสมมาตรได้
ก่อนนำสมาชิกของ A ไปนับใน P(A) ต้องตรวจให้ชัดว่าสมาชิกนั้นเป็น “เซต” และสมาชิกทุกตัวภายในเซตนั้นอยู่ใน A จึงจะถือว่าเป็นสับเซตของ A