ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP22
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP22 พื้นที่หน้าตัดของทรงกลม

ฝึกหาพื้นที่ผิวน้ำในถังทรงกลม โดยวิเคราะห์ตำแหน่งหน้าตัดและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหารัศมีของวงกลมผิวน้ำ

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP22 • Exam-Driven Mathematics

พื้นที่หน้าตัดของทรงกลม

ฝึกวิเคราะห์ผิวน้ำภายในถังทรงกลม ใช้ภาพตัดผ่านจุดศูนย์กลาง และประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหารัศมีของวงกลมหน้าตัด

เป้าหมาย

แยกรัศมีของทรงกลมออกจากรัศมีของหน้าตัด หาตำแหน่งผิวน้ำเทียบกับจุดศูนย์กลาง และคำนวณพื้นที่ผิวน้ำได้อย่างถูกต้อง

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

ถังเก็บน้ำทรงกลมมีรัศมียาว r เมตร ระดับน้ำสูง 3r/2 เมตร แล้วพื้นที่ผิวน้ำที่สัมผัสกับอากาศเท่ากับกี่ตารางเมตร

  1. πr²/4
  2. πr²/2
  3. 3πr²/4
  4. πr²
ลองคิดก่อน
  • ผิวน้ำเป็นรูปอะไร?
  • รัศมีของผิวน้ำเท่ากับ r หรือไม่?
  • จุดศูนย์กลางอยู่สูงจากก้นถังเท่าใด?
  • ระดับน้ำอยู่เหนือจุดศูนย์กลางเท่าใด?
🧭

1. แยกรัศมีสองชนิดให้ชัดเจน

เมื่อตัดทรงกลมด้วยระนาบแนวนอน รอยตัดจะเป็นวงกลม แต่รัศมีของวงกลมหน้าตัด อาจไม่เท่ากับรัศมีของทรงกลม

r = รัศมีของทรงกลม
x = รัศมีของวงกลมผิวน้ำ
ข้อควรระวัง

จะใช้พื้นที่ πr² ได้เฉพาะเมื่อผิวน้ำ ตัดผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลมเท่านั้น

📍

2. หาตำแหน่งของผิวน้ำ

จุดศูนย์กลางของทรงกลมอยู่สูงจากก้นถัง เท่ากับรัศมีของทรงกลม

ความสูงของจุดศูนย์กลาง = r

แต่ระดับน้ำสูงจากก้นถัง

3r/2

ดังนั้นผิวน้ำอยู่เหนือจุดศูนย์กลางเป็นระยะ

3r/2 − r = r/2
สังเกต

ระดับน้ำสูงกว่าครึ่งทรงกลม ผิวน้ำจึงอยู่เหนือจุดศูนย์กลาง แต่ขนาดวงกลมหน้าตัดจะเล็กกว่าวงกลมใหญ่ของทรงกลม

📐

3. ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เมื่อพิจารณาภาพตัดผ่านจุดศูนย์กลาง จะเกิดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี

  • ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว r
  • ด้านแนวตั้งยาว r/2
  • ด้านแนวนอนยาว x
x² + (r/2)² = r²
x² + r²/4 = r²
x² = r² − r²/4
x² = 3r²/4

ดังนั้นรัศมีของวงกลมผิวน้ำคือ

x = √3r/2
เทคนิคสำคัญ

ถ้าโจทย์ถามพื้นที่ ไม่จำเป็นต้องถอดรากหา x ก่อน เพราะสามารถใช้ค่า x² คำนวณได้ทันที

🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

ผิวน้ำเป็นวงกลมที่มีรัศมี x จึงมีพื้นที่

A = πx²

จากพีทาโกรัสได้ว่า

x² = 3r²/4

แทนค่า

A = π(3r²/4)
A = 3πr²/4
ตอบ ข้อ 3

พื้นที่ผิวน้ำที่สัมผัสกับอากาศเท่ากับ 3πr²/4 ตารางเมตร

⚡

5. วิธีทำแบบรวดเร็ว

ระยะจากศูนย์กลางถึงผิวน้ำ = |h − r|
x² = r² − (h − r)²
พื้นที่ผิวน้ำ = π[r² − (h − r)²]

เมื่อโจทย์กำหนด h = 3r/2

A = π[r² − (3r/2 − r)²]
= π[r² − (r/2)²] = 3πr²/4
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • ใช้ πr² ทันทีโดยไม่หารัศมีหน้าตัด
  • นำความสูง 3r/2 ไปใช้เป็นรัศมีวงกลม
  • ลืมหาตำแหน่งผิวน้ำเทียบกับจุดศูนย์กลาง
  • ใช้สูตรพื้นที่ผิวทรงกลม 4πr²
  • คำนวณปริมาตรทั้งที่โจทย์ถามพื้นที่ผิวน้ำ
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. ถังทรงกลมรัศมี r มีน้ำสูง r เมตร จงหาพื้นที่ผิวน้ำ

    ดูเฉลย

    ผิวน้ำผ่านจุดศูนย์กลาง รัศมีหน้าตัดจึงเท่ากับ r

    A = πr²

    ตอบ πr²

  2. ทรงกลมรัศมี 10 เซนติเมตร ถูกตัดด้วยระนาบห่างจากจุดศูนย์กลาง 6 เซนติเมตร จงหารัศมีของวงกลมหน้าตัด

    ดูเฉลย
    x² + 6² = 10²
    x² = 100 − 36 = 64
    x = 8

    ตอบ 8 เซนติเมตร

  3. จากข้อก่อนหน้า วงกลมหน้าตัดมีพื้นที่เท่าใด

    ดูเฉลย
    A = π(8²) = 64π

    ตอบ 64π ตารางเซนติเมตร

  4. ถังทรงกลมรัศมี 4 เมตร มีน้ำสูง 6 เมตร จงหาพื้นที่ผิวน้ำ

    ดูเฉลย
    ระยะเหนือศูนย์กลาง = 6 − 4 = 2
    x² = 4² − 2² = 12
    A = 12π

    ตอบ 12π ตารางเมตร

  5. ถังทรงกลมรัศมี 5 เมตร ระดับน้ำอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 3 เมตร จงหาพื้นที่ผิวน้ำ

    ดูเฉลย
    x² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
    A = 16π

    ตอบ 16π ตารางเมตร

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 ถังทรงกลมรัศมี r มีน้ำสูง 3r/2 พื้นที่ผิวน้ำเท่ากับเท่าใด

ดูคำอธิบาย
ระยะจากศูนย์กลาง = 3r/2 − r = r/2
x² = r² − (r/2)² = 3r²/4
A = πx² = 3πr²/4

ตอบ C

ข้อ 2 ทรงกลมรัศมี 13 หน่วย ถูกตัดด้วยระนาบห่างจากจุดศูนย์กลาง 5 หน่วย รัศมีของวงกลมหน้าตัดเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
x² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
x = 12

ตอบ D

ข้อ 3 ถ้าระนาบตัดผ่านจุดศูนย์กลาง ของทรงกลมรัศมี r พื้นที่วงกลมหน้าตัดเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

เมื่อระนาบตัดผ่านจุดศูนย์กลาง รัศมีหน้าตัดเท่ากับ r

A = πr²

ตอบ B

ข้อ 4 ทรงกลมรัศมี 5 หน่วย มีวงกลมหน้าตัดห่างจากศูนย์กลาง 4 หน่วย พื้นที่หน้าตัดเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
x² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9
A = 9π

ตอบ A

ข้อ 5 ถังทรงกลมรัศมี r มีระดับน้ำสูง h จากก้นถัง สูตรใดใช้หาพื้นที่ผิวน้ำได้ถูกต้อง
ดูคำอธิบาย

ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงผิวน้ำคือ |h − r|

x² = r² − (h − r)²
A = π[r² − (h − r)²]

ตอบ C

📌

8. สรุปก่อนจบบท

ผิวน้ำในถังทรงกลม เป็นวงกลมหน้าตัด
ระยะจากศูนย์กลางถึงผิวน้ำ = |h − r|
x² = r² − (h − r)²
พื้นที่ผิวน้ำ = π[r² − (h − r)²]
  • ฉันแยกรัศมีทรงกลมกับรัศมีหน้าตัดได้
  • ฉันหาตำแหน่งผิวน้ำเทียบกับจุดศูนย์กลางได้
  • ฉันสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากจากภาพตัดได้
  • ฉันใช้พีทาโกรัสหารัศมีหน้าตัดได้
  • ฉันคำนวณพื้นที่ผิวน้ำได้โดยไม่ใช้สูตรผิดประเภท
แนวคิดสำคัญที่สุด

รัศมีของผิวน้ำไม่จำเป็นต้องเท่ากับรัศมีของทรงกลม ต้องหาตำแหน่งของผิวน้ำก่อน แล้วใช้พีทาโกรัสหารัศมีวงกลมหน้าตัด

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP21 · ชื่อ EP: EP21 เพาเวอร์เซตและผลต่างสมมาตรของเซต ตอนถัดไป EP23 · EP23 ทฤษฎีเศษเหลือและตัวประกอบของพหุนาม