ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP24
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP24 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันและผลคูณ

ทบทวนการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2 และฝึกใช้สมบัติของผลคูณ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน เมทริกซ์ผกผัน และการคูณด้วยค่าคงตัว

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP24 • Exam-Driven Mathematics

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันและผลคูณ

ทบทวนการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) และฝึกใช้สมบัติของผลคูณ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน เมทริกซ์ผกผัน และการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

เป้าหมายของบท

ใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์แก้โจทย์ได้โดยตรง โดยไม่จำเป็นต้องคูณเมทริกซ์หรือหาเมทริกซ์ผกผันทุกตัว

🧠

1. พื้นฐานที่ต้องรู้ก่อนทำโจทย์

1.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ \(2\times2\)

กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \]

ดีเทอร์มิแนนต์ของ \(A\) คือ

\[ \det(A)=ad-bc \]
จำง่าย

คูณแนวทแยงลง แล้วลบด้วยผลคูณแนวทแยงขึ้น

1.2 ตัวอย่าง

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 2 \end{bmatrix} \]
\[ \det(A) =(4)(2)-(3)(2) \]
\[ \det(A)=8-6=2 \]
📌

2. สมบัติสำคัญของดีเทอร์มิแนนต์

2.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณ

\[ \det(AB)=\det(A)\det(B) \]
\[ \det(ABC)=\det(A)\det(B)\det(C) \]

2.2 เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

\[ \det(A^t)=\det(A) \]

การสลับแถวให้เป็นหลัก หรือสลับหลักให้เป็นแถว ไม่ทำให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์เปลี่ยน

2.3 เมทริกซ์ผกผัน

\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \]

สูตรนี้ใช้ได้เมื่อ \(\det(A)\neq0\)

2.4 เมทริกซ์เอกลักษณ์

\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ \det(I)=1 \]
⚠️

3. การคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด \(n\times n\)

\[ \det(kA)=k^n\det(A) \]

สำหรับเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\)

\[ \det(kA)=k^2\det(A) \]

ตัวอย่าง

\[ \det(2I)=2^2\det(I) \]
\[ \det(2I)=4(1)=4 \]
จุดที่มักผิด

สำหรับเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) จะได้ \(\det(2A)=2^2\det(A)\) ไม่ใช่ \(2\det(A)\)

➖

4. เครื่องหมายลบหน้าเมทริกซ์

ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\)

\[ \det(-A)=(-1)^2\det(A) \]
\[ \det(-A)=\det(A) \]

ดังนั้น

\[ \det(-C^{-1}) = \det(C^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]
ต้องดูขนาดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) มี \((-1)^2=1\) แต่เมทริกซ์ขนาด \(3\times3\) มี \((-1)^3=-1\)

❓

5. ปัญหานำข้อที่ 1

กำหนดให้ \(A\), \(B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) โดยมีเงื่อนไข

\[ \det(A)=\det(2I) \]
\[ \det(-C^{-1})=\frac{1}{4} \]

และ

\[ AB^tC= \begin{bmatrix} 11 & 7\\ 4 & 4 \end{bmatrix} \]

จงหา \(\det(AB^{-1})\)

  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. 16
วางแผนก่อนทำ

หา \(\det(A)\) → หา \(\det(C)\) → หา \(\det(B)\) → หาค่าที่โจทย์ถาม

✅

6. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 1

ขั้นที่ 1 หา \(\det(A)\)

\[ \det(A)=\det(2I) \]
\[ \det(A)=2^2\det(I)=4 \]

ขั้นที่ 2 หา \(\det(C)\)

\[ \det(-C^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]
\[ \frac{1}{\det(C)} = \frac{1}{4} \]
\[ \det(C)=4 \]

ขั้นที่ 3 หา \(\det(B)\)

หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่โจทย์กำหนด

\[ \det \begin{bmatrix} 11 & 7\\ 4 & 4 \end{bmatrix} =(11)(4)-(7)(4) \]
\[ =44-28=16 \]

จากสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

\[ \det(AB^tC) = \det(A)\det(B^t)\det(C) \]

และ \(\det(B^t)=\det(B)\)

\[ 16=4\det(B)(4) \]
\[ 16=16\det(B) \]
\[ \det(B)=1 \]

ขั้นที่ 4 หาค่าที่โจทย์ถาม

\[ \det(AB^{-1}) = \det(A)\det(B^{-1}) \]
\[ \det(AB^{-1}) = \det(A) \left( \frac{1}{\det(B)} \right) \]
\[ \det(AB^{-1}) = 4\left(\frac{1}{1}\right) =4 \]
ตอบ ข้อ 2

\[ \det(AB^{-1})=4 \]

❓

7. ปัญหานำข้อที่ 2

กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 2 \end{bmatrix} \qquad\text{และ}\qquad C= \begin{bmatrix} 5 & -5\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

ถ้า \(AB=C\)

จงหา \(\det(A^{-1}B^{-1})\)

  1. 10
  2. 1
  3. 0.1
  4. 0.01
แนวคิดสำคัญ

โจทย์ถามเฉพาะค่าดีเทอร์มิแนนต์ จึงไม่จำเป็นต้องหา \(B\), \(A^{-1}\) หรือ \(B^{-1}\) โดยตรง

🔗

8. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 2

จาก \(AB=C\)

\[ \det(AB)=\det(C) \]
\[ \det(A)\det(B)=\det(C) \]

สิ่งที่โจทย์ถามคือ

\[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \det(A^{-1})\det(B^{-1}) \]
\[ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \frac{1}{\det(B)} \]
\[ = \frac{1}{\det(A)\det(B)} \]

แต่ \(\det(A)\det(B)=\det(C)\) ดังนั้น

\[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]

หา \(\det(C)\)

\[ \det(C) = \det \begin{bmatrix} 5 & -5\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]
\[ \det(C) =(5)(2)-(-5)(0) \]
\[ \det(C)=10 \]
\[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{10} =0.1 \]
ตอบ ข้อ 3

\[ \det(A^{-1}B^{-1})=0.1 \]

หมายเหตุเกี่ยวกับต้นฉบับ

หากสมาชิกตำแหน่งล่างขวาของ \(C\) เป็น \(-2\) จะคำนวณได้ \(-0.1\) ซึ่งไม่ตรงกับตัวเลือก บทนี้จึงใช้ค่า \(2\) เพื่อให้ตรงกับคำตอบ \(0.1\)

⚡

9. สูตรลัดก่อนสอบ

\[ \det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc \]
\[ \det(AB)=\det(A)\det(B) \]
\[ \det(A^t)=\det(A) \]
\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \]
\[ \det(kA)=k^2\det(A) \] เมื่อ \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\)
\[ AB=C \quad\Longrightarrow\quad \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • ใช้ \(ad+bc\) แทน \(ad-bc\)
  • คิดว่า \(\det(AB)=\det(A)+\det(B)\)
  • ลืมว่า \(\det(A^t)=\det(A)\)
  • ไม่กลับเศษส่วนเมื่อพบเมทริกซ์ผกผัน
  • คิดว่า \(\det(2A)=2\det(A)\)
  • หาเมทริกซ์ทั้งตัว ทั้งที่โจทย์ถามเฉพาะดีเทอร์มิแนนต์
✏️

10. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

    \[ A= \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
    ดูเฉลย
    \[ \det(A) =(3)(4)-(2)(1) =10 \]

    ตอบ 10

  2. ถ้า \(\det(A)=5\) จงหา \(\det(A^{-1})\)

    ดูเฉลย
    \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5} \]

    ตอบ \(\frac{1}{5}\)

  3. ถ้า \(\det(A)=3\) และ \(\det(B)=4\) จงหา \(\det(AB)\)

    ดูเฉลย
    \[ \det(AB) =\det(A)\det(B) =(3)(4) =12 \]

    ตอบ 12

  4. ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) และ \(\det(A)=3\) จงหา \(\det(2A)\)

    ดูเฉลย
    \[ \det(2A) =2^2\det(A) =4(3) =12 \]

    ตอบ 12

  5. ถ้า \(AB=C\) และ \(\det(C)=8\) จงหา \(\det(A^{-1}B^{-1})\)

    ดูเฉลย
    \[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} = \frac{1}{8} \]

    ตอบ \(\frac{1}{8}\)

🎓

11. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 กำหนดให้ \(A\), \(B\) และ \(C\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) โดยมีเงื่อนไข

\[ \det(A)=\det(2I) \]
\[ \det(-C^{-1})=\frac{1}{4} \]

และ

\[ AB^tC= \begin{bmatrix} 11 & 7\\ 4 & 4 \end{bmatrix} \]

จงหา \(\det(AB^{-1})\)

ดูคำอธิบาย
\[ \det(A)=4 \qquad \det(C)=4 \]
\[ \det \begin{bmatrix} 11 & 7\\ 4 & 4 \end{bmatrix} =16 \]
\[ 16=4\det(B)(4) \]
\[ \det(B)=1 \]
\[ \det(AB^{-1}) = \frac{\det(A)}{\det(B)} = \frac{4}{1} =4 \]

ตอบ B. \(4\)

ข้อ 2 กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 2 \end{bmatrix} \qquad\text{และ}\qquad C= \begin{bmatrix} 5 & -5\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

ถ้า \(AB=C\)

จงหา \(\det(A^{-1}B^{-1})\)

ดูคำอธิบาย
\[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]
\[ \det(C) = (5)(2)-(-5)(0) =10 \]
\[ \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{10} =0.1 \]

ตอบ C. \(0.1\)

ข้อ 3 จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

\[ \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
ดูคำอธิบาย
\[ \det \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} =(5)(4)-(2)(3) \]
\[ =20-6=14 \]

ตอบ B. \(14\)

ข้อ 4 ถ้า \(\det(A)=2\) และ \(\det(B)=5\) แล้ว \(\det(AB^t)\) มีค่าเท่าใด

ดูคำอธิบาย
\[ \det(B^t)=\det(B)=5 \]
\[ \det(AB^t) = \det(A)\det(B^t) =(2)(5) =10 \]

ตอบ C. \(10\)

ข้อ 5 ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) และ \(\det(A)=2\) แล้ว \(\det(3A)\) มีค่าเท่าใด

ดูคำอธิบาย
\[ \det(3A) = 3^2\det(A) \]
\[ \det(3A) = 9(2) =18 \]

ตอบ D. \(18\)

📌

12. สรุปก่อนจบบท

\[ \det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc \]
\[ \det(AB)=\det(A)\det(B) \]
\[ \det(A^t)=\det(A) \]
\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \]
\[ \det(kA)=k^2\det(A) \] เมื่อ \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\)
\[ AB=C \quad\Longrightarrow\quad \det(A^{-1}B^{-1}) = \frac{1}{\det(C)} \]
  • ฉันหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ \(2\times2\) ได้
  • ฉันใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณได้
  • ฉันรู้ว่า \(\det(A^t)=\det(A)\)
  • ฉันหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันได้
  • ฉันใช้สูตร \(\det(kA)=k^2\det(A)\) ได้ถูกต้อง
  • ฉันแก้โจทย์โดยไม่จำเป็นต้องหาเมทริกซ์ทุกตัวได้
หลักคิดสำคัญที่สุด

เมื่อโจทย์ถามเฉพาะค่าดีเทอร์มิแนนต์ ให้เปลี่ยนข้อมูลทั้งหมดเป็นสมการของ \(\det\) แล้วใช้สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์คำนวณโดยตรง

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP23 · EP23 ทฤษฎีเศษเหลือและตัวประกอบของพหุนาม ตอนถัดไป EP25 · EP25 ทบทวนพื้นฐานสำคัญของเมทริกซ์