ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP23
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP23 ทฤษฎีเศษเหลือและตัวประกอบของพหุนาม

ฝึกใช้เงื่อนไขตัวประกอบของพหุนามเพื่อสร้างสมการ หาค่าคงตัว และประยุกต์ทฤษฎีเศษเหลือหาคำตอบอย่างเป็นขั้นตอน

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP23 • Exam-Driven Mathematics

ทฤษฎีเศษเหลือและตัวประกอบของพหุนาม

ฝึกใช้เงื่อนไขตัวประกอบของพหุนาม เพื่อหาค่าคงตัวที่ไม่ทราบค่า แล้วประยุกต์ทฤษฎีเศษเหลือหาคำตอบอย่างรวดเร็ว

เป้าหมาย

เปลี่ยนเงื่อนไขตัวประกอบเป็นสมการ แก้ระบบสมการหาค่าคงตัว และหาเศษจากการหารพหุนามได้อย่างถูกต้อง

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดให้ x − 1 และ x + 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม

p(x) = 3x³ + x² − mx + n

เมื่อ m และ n เป็นค่าคงตัว เศษที่เหลือจากการหาร p(x) ด้วย x − (m + n) เท่ากับข้อใด

  1. 0
  2. 10
  3. 17
  4. 21
ลองคิดก่อน
  • x − 1 เป็นตัวประกอบ บอกอะไรเกี่ยวกับ p(1)?
  • x + 1 เขียนในรูป x − a ได้อย่างไร?
  • ต้องหา m และ n ก่อนหรือไม่?
  • การหารด้วย x − (m + n) ต้องแทน x ด้วยค่าใด?
🧭

1. ทฤษฎีตัวประกอบ

ถ้า x − a เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) เมื่อนำ a ไปแทนค่าในพหุนาม จะต้องได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์

x − a เป็นตัวประกอบของ p(x) ⇔ p(a) = 0

ดังนั้น เมื่อโจทย์กำหนดว่า x − 1 เป็นตัวประกอบ

p(1) = 0

ส่วน x + 1 เขียนใหม่ได้เป็น

x + 1 = x − (−1)

จึงได้ว่า

p(−1) = 0
จุดที่มักผิด

เมื่อเห็น x + 1 ต้องแทน x = −1 ไม่ใช่แทน x = 1

✍️

2. ใช้เงื่อนไข x − 1 เป็นตัวประกอบ

จาก

p(x) = 3x³ + x² − mx + n

เพราะ x − 1 เป็นตัวประกอบ จึงมี

p(1) = 0

แทน x = 1

3(1)³ + (1)² − m(1) + n = 0
3 + 1 − m + n = 0
m − n = 4

ได้สมการที่หนึ่ง

m − n = 4 ①
🔍

3. ใช้เงื่อนไข x + 1 เป็นตัวประกอบ

เนื่องจาก x + 1 คือ x − (−1) จึงต้องแทน x = −1

p(−1) = 0
3(−1)³ + (−1)² − m(−1) + n = 0
−3 + 1 + m + n = 0
m + n = 2

ได้สมการที่สอง

m + n = 2 ②
สังเกตเครื่องหมาย

พจน์ −mx เมื่อแทน x = −1 จะกลายเป็น −m(−1) = +m

🧩

4. แก้ระบบสมการหา m และ n

จากสมการ

m − n = 4
m + n = 2

บวกสมการทั้งสองเพื่อตัด n

2m = 6
m = 3

แทน m = 3 ในสมการ m + n = 2

3 + n = 2
n = −1

ดังนั้น

m + n = 3 + (−1) = 2
เทคนิคทำเร็ว

โจทย์ถามเกี่ยวกับ m + n และจากเงื่อนไข p(−1) = 0 เราได้ m + n = 2 อยู่แล้ว จึงไม่จำเป็นต้องหา m และ n แยกจากกันก็ได้

📐

5. ทฤษฎีเศษเหลือ

ถ้านำพหุนาม p(x) ไปหารด้วย x − a เศษที่เหลือจะเท่ากับ p(a)

หาร p(x) ด้วย x − a เศษ = p(a)

ในโจทย์นี้

m + n = 2

ตัวหารจึงเป็น

x − (m + n) = x − 2

เศษจากการหารด้วย x − 2 จึงเท่ากับ

p(2)
✅

6. กลับมาแก้ปัญหานำ

เมื่อ m = 3 และ n = −1 จะได้

p(x) = 3x³ + x² − 3x − 1

หา p(2)

p(2) = 3(2)³ + (2)² − 3(2) − 1
= 3(8) + 4 − 6 − 1
= 24 + 4 − 6 − 1
= 21
ตอบ ข้อ 4

เศษที่เหลือจากการหาร p(x) ด้วย x − (m + n) เท่ากับ 21

⚡

7. วิธีทำแบบรวดเร็ว

x − 1 เป็นตัวประกอบ ⇒ p(1) = 0 ⇒ m − n = 4
x + 1 เป็นตัวประกอบ ⇒ p(−1) = 0 ⇒ m + n = 2
x − (m + n) = x − 2
เศษ = p(2)
p(2) = 24 + 4 − 6 − 1 = 21
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • เห็น x + 1 แล้วแทน x = 1
  • คำนวณ −m(−1) เป็น −m
  • คิดว่าเศษจากการหารด้วย x − 2 ต้องแทน x = −2
  • ใช้การหารสังเคราะห์ทั้งที่แทนค่าได้ทันที
  • หยุดเมื่อหา m + n ได้ โดยยังไม่ได้หาเศษ
✏️

8. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. ถ้า x − 3 เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว p(3) มีค่าเท่าใด

    ดูเฉลย

    จากทฤษฎีตัวประกอบ

    x − 3 เป็นตัวประกอบ ⇒ p(3) = 0

    ตอบ 0

  2. ถ้า x + 4 เป็นตัวประกอบของ p(x) ต้องแทนค่า x เท่าใด

    ดูเฉลย
    x + 4 = x − (−4)

    จึงต้องแทน x = −4

    ตอบ −4

  3. เมื่อหาร p(x) = x² + 2x + 5 ด้วย x − 2 จะเหลือเศษเท่าใด

    ดูเฉลย
    เศษ = p(2)
    p(2) = 2² + 2(2) + 5 = 4 + 4 + 5 = 13

    ตอบ 13

  4. กำหนดให้ x − 2 เป็นตัวประกอบของ p(x) = x² + kx − 6 จงหาค่า k

    ดูเฉลย
    p(2) = 0
    2² + 2k − 6 = 0
    4 + 2k − 6 = 0
    2k = 2 ⇒ k = 1

    ตอบ 1

  5. กำหนดให้ x + 2 เป็นตัวประกอบของ p(x) = x² + ax + 2 จงหาค่า a

    ดูเฉลย
    p(−2) = 0
    (−2)² + a(−2) + 2 = 0
    4 − 2a + 2 = 0
    2a = 6 ⇒ a = 3

    ตอบ 3

🎓

9. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 กำหนดให้ x − 1 และ x + 1 เป็นตัวประกอบของ p(x) = 3x³ + x² − mx + n เศษจากการหาร p(x) ด้วย x − (m + n) เท่ากับเท่าใด

ดูคำอธิบาย
p(1) = 0 ⇒ m − n = 4
p(−1) = 0 ⇒ m + n = 2
เศษ = p(2) = 21

ตอบ D

ข้อ 2 ถ้า x + 3 เป็นตัวประกอบของ p(x) ข้อใดถูกต้อง

ดูคำอธิบาย
x + 3 = x − (−3)
p(−3) = 0

ตอบ B

ข้อ 3 เมื่อหาร p(x) = 2x² − 3x + 4 ด้วย x − 2 จะเหลือเศษเท่าใด

ดูคำอธิบาย
เศษ = p(2)
p(2) = 2(2²) − 3(2) + 4
= 8 − 6 + 4 = 6

ตอบ C

ข้อ 4 ถ้า x − 2 เป็นตัวประกอบของ p(x) = x² + kx − 8 แล้ว k มีค่าเท่าใด

ดูคำอธิบาย
p(2) = 0
2² + 2k − 8 = 0
4 + 2k − 8 = 0
2k = 4 ⇒ k = 2

ตอบ A

ข้อ 5 พหุนาม p(x) เมื่อหารด้วย x + 2 เหลือเศษ 7 ข้อใดถูกต้อง

ดูคำอธิบาย

ตัวหาร x + 2 เขียนได้เป็น x − (−2)

เศษ = p(−2)
p(−2) = 7

ตอบ D

📌

10. สรุปก่อนจบบท

x − a เป็นตัวประกอบ ⇔ p(a) = 0
x + a = x − (−a) จึงต้องแทน x = −a
หาร p(x) ด้วย x − a เศษ = p(a)
ตัวประกอบ → แทนค่าแล้วได้ 0
เศษเหลือ → แทนค่าแล้วได้ค่าเศษ
  • ฉันเปลี่ยนเงื่อนไขตัวประกอบเป็นสมการได้
  • ฉันรู้ว่า x + a ต้องแทน x = −a
  • ฉันจัดการเครื่องหมายลบเมื่อแทนค่าได้
  • ฉันแก้ระบบสมการหาค่าคงตัวได้
  • ฉันใช้ทฤษฎีเศษเหลือโดยไม่ต้องตั้งหารได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อเห็นคำว่า “เป็นตัวประกอบ” ให้แทนค่าแล้วตั้งเท่ากับศูนย์ แต่เมื่อถาม “เศษจากการหาร” ให้แทนค่าตามตัวหารแล้วคำนวณค่าพหุนาม

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP22 · EP22 พื้นที่หน้าตัดของทรงกลม ตอนถัดไป EP24 · EP24 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันและผลคูณ