ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP27
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP27 การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันร่วม

สรุปเทคนิคการแปรผันตรง แปรผกผัน กำลังสอง รากที่สอง และการแปรผันร่วม พร้อมวิธีสังเกตคำสำคัญ หาค่าคงตัว k ใช้อัตราส่วน

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP27 • Exam-Driven Mathematics

การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันร่วม

ฝึกสังเกตคำสำคัญ แปลงเงื่อนไขเป็นสมการการแปรผัน หาค่าคงตัว \(k\) และใช้วิธีอัตราส่วนแก้โจทย์ การแปรผันตรง การแปรผกผัน กำลังสอง และการแปรผันร่วม

เป้าหมายของบท

แยกประเภทการแปรผันได้ถูกต้อง เขียนสมการจากข้อความได้ และเลือกใช้วิธีหาค่าคงตัวหรือวิธีอัตราส่วน เพื่อแก้โจทย์ได้รวดเร็ว

🧠

1. การแปรผันคืออะไร

การแปรผัน คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยน อีกปริมาณจะเปลี่ยนตามกฎที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น ถ้าราคาสินค้าต่อชิ้นคงที่ เงินที่ต้องจ่ายจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนสินค้า

\[ \text{เงินที่จ่าย} \propto \text{จำนวนสินค้า} \]
สัญลักษณ์สำคัญ

เครื่องหมาย \(\propto\) อ่านว่า “แปรผันตาม” หรือ “เป็นสัดส่วนกับ”

📌

2. ตารางแปลข้อความเป็นสมการ

\[ y\propto x \quad\Longrightarrow\quad y=kx \]
\[ y\propto x^2 \quad\Longrightarrow\quad y=kx^2 \]
\[ y\propto \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad y=k\sqrt{x} \]
\[ y\propto \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{k}{x} \]
\[ y\propto \frac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{k}{x^2} \]
\[ y\propto \frac{x}{z} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{kx}{z} \]
\[ y\propto \frac{x^2}{z} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{kx^2}{z} \]
สิ่งที่ต้องมีทุกครั้ง

เมื่อเปลี่ยนจาก \(\propto\) เป็นเครื่องหมายเท่ากับ ต้องใส่ค่าคงตัวของการแปรผัน \(k\)

↗️

3. การแปรผันตรง

ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) จะเขียนได้ว่า

\[ y\propto x \]
\[ y=kx \]

เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้น \(y\) จะเพิ่มขึ้นในอัตราส่วนเดียวกัน

\[ \frac{y}{x}=k \]

ตัวอย่าง

ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) และเมื่อ \(x=4\) จะได้ \(y=12\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=7\)

\[ y=kx \]
\[ 12=4k \]
\[ k=3 \]
\[ y=3(7)=21 \]
วิธีลัดด้วยอัตราส่วน
\[ \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2} \]
²

4. การแปรผันตรงกับกำลังสอง

ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับกำลังสองของ \(x\)

\[ y\propto x^2 \]
\[ y=kx^2 \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 2 เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น

\[ 2^2=4\text{ เท่า} \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 3 เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น

\[ 3^2=9\text{ เท่า} \]
วิธีลัด
\[ \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1^2}{x_2^2} \]
อย่าสับสน

คำว่า “เพิ่มเป็น 2 เท่า” ไม่ได้แปลว่าเป็นการแปรผันกำลังสอง ต้องมีข้อความว่า “แปรผันตรงกับกำลังสอง” หรือมีความสัมพันธ์ \(x^2\) ชัดเจน

√

5. การแปรผันตรงกับรากที่สอง

ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับรากที่สองของ \(x\)

\[ y\propto\sqrt{x} \]
\[ y=k\sqrt{x} \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 4 เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น

\[ \sqrt{4}=2\text{ เท่า} \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 9 เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น

\[ \sqrt{9}=3\text{ เท่า} \]
วิธีลัด
\[ \frac{y_1}{y_2} = \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \]
↘️

6. การแปรผกผัน

ถ้า \(y\) แปรผกผันกับ \(x\)

\[ y\propto\frac{1}{x} \]
\[ y=\frac{k}{x} \]

เขียนในรูปผลคูณคงที่ได้ว่า

\[ xy=k \]

เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้น \(y\) จะลดลง โดยผลคูณ \(xy\) คงที่

ตัวอย่าง

คนงาน 6 คนทำงานเสร็จใน 8 วัน ถ้ามีคนงาน 12 คน และทุกคนทำงานด้วยอัตราเท่ากัน จะใช้เวลากี่วัน

\[ 6(8)=12t \]
\[ 48=12t \]
\[ t=4 \]
จำง่าย

การแปรผกผันให้คิดว่า “ด้านหนึ่งมากขึ้น อีกด้านหนึ่งลดลง” และผลคูณคงที่

1/x²

7. การแปรผกผันกับกำลังสอง

ถ้า \(y\) แปรผกผันกับกำลังสองของ \(x\)

\[ y\propto\frac{1}{x^2} \]
\[ y=\frac{k}{x^2} \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 2 เท่า \(y\) จะเหลือ

\[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น 3 เท่า \(y\) จะเหลือ

\[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
วิธีลัด
\[ \frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2^2}{x_1^2} \]
🔗

8. การแปรผันร่วม

การแปรผันร่วม คือ การที่ปริมาณหนึ่ง แปรผันกับหลายปริมาณพร้อมกัน

แปรผันตรงกับ \(x\) และ \(z\)

\[ y\propto xz \]
\[ y=kxz \]

แปรผันตรงกับ \(x\) และแปรผกผันกับ \(z\)

\[ y\propto\frac{x}{z} \]
\[ y=\frac{kx}{z} \]

แปรผันตรงกับกำลังสองของ \(x\) และแปรผกผันกับ \(z\)

\[ y\propto\frac{x^2}{z} \]
\[ y=\frac{kx^2}{z} \]
หลักการอ่าน

ปริมาณที่แปรผันตรงให้อยู่ด้านบน ส่วนปริมาณที่แปรผกผันให้อยู่ด้านล่างของเศษส่วน

🧭

9. กรอบคิด 4 ขั้นตอน

  1. หาคำสำคัญ เช่น แปรผันตรง แปรผกผัน กำลังสอง หรือรากที่สอง
  2. เขียนสมการ โดยใส่ค่าคงตัว \(k\)
  3. ใช้ข้อมูลชุดแรกหา \(k\) หรือใช้วิธีอัตราส่วน
  4. แทนข้อมูลชุดใหม่ แล้วตอบสิ่งที่โจทย์ถาม
เลือกวิธีให้เหมาะสม

ถ้าโจทย์ถามหลายครั้ง ควรหา \(k\) และสร้างสูตรไว้ แต่ถ้าถามเพียงครั้งเดียว วิธีอัตราส่วนมักเร็วกว่า

❓

10. ปัญหานำข้อที่ 1

เมื่อปล่อยก้อนหินให้ตกอย่างอิสระในแนวดิ่ง พบว่าระยะทางที่ก้อนหินตกลงมา แปรผันตรงกับกำลังสองของเวลาที่ก้อนหินตก

ถ้าหลังปล่อยก้อนหินเป็นเวลา 3 วินาที ก้อนหินตกลงมาเป็นระยะทาง 4 เมตร จงหาว่าต้องใช้เวลานานเท่าใด หลังจากปล่อยก้อนหินแล้วจึงตกได้ระยะทาง 25 เมตร

  1. \(\frac{4}{9}\) วินาที
  2. \(7.5\) วินาที
  3. \(56.25\) วินาที
  4. \(225\) วินาที
คำสำคัญ

“ระยะทางแปรผันตรงกับกำลังสองของเวลา” ต้องเขียนเป็น \(s=kt^2\)

✅

11. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 1

ขั้นที่ 1 เขียนสมการการแปรผัน

ให้ระยะทางเป็น \(s\) เมตร และเวลาเป็น \(t\) วินาที

\[ s\propto t^2 \]
\[ s=kt^2 \]

ขั้นที่ 2 ใช้ข้อมูลชุดแรกหา \(k\)

เมื่อ \(t=3\) จะได้ \(s=4\)

\[ 4=k(3)^2 \]
\[ 4=9k \]
\[ k=\frac{4}{9} \]

ความสัมพันธ์จึงเป็น

\[ s=\frac{4}{9}t^2 \]

ขั้นที่ 3 แทนระยะทาง 25 เมตร

\[ 25=\frac{4}{9}t^2 \]
\[ t^2=25\left(\frac{9}{4}\right) \]
\[ t^2=\frac{225}{4} \]
\[ t=\frac{15}{2}=7.5 \]

เวลาเป็นปริมาณบวก จึงเลือก \(t=7.5\)

ตอบ ข้อ 2

ต้องใช้เวลา \(7.5\) วินาที

⚡

12. วิธีลัดด้วยอัตราส่วน

เพราะระยะทางแปรผันตรงกับกำลังสองของเวลา

\[ \frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1^2}{t_2^2} \]
\[ \frac{4}{25} = \frac{3^2}{t^2} \]
\[ \frac{2}{5} = \frac{3}{t} \]
\[ 2t=15 \]
\[ t=7.5 \]
ระวังการถอดราก

จาก \(\frac{4}{25}=\frac{9}{t^2}\) สามารถถอดรากทั้งสองข้างได้ เพราะระยะทางและเวลาเป็นค่าบวก

👷

13. ตัวอย่างการแปรผกผันที่พบบ่อย

คนงาน 8 คนทำงานเสร็จใน 15 วัน ถ้าเพิ่มเป็น 12 คน จะใช้เวลากี่วัน

เมื่อจำนวนคนเพิ่มขึ้น เวลาจะลดลง จึงเป็นการแปรผกผัน

\[ (\text{จำนวนคน})(\text{จำนวนวัน}) = \text{ค่าคงที่} \]
\[ 8(15)=12t \]
\[ 120=12t \]
\[ t=10 \]
ตอบ

คนงาน 12 คน ใช้เวลา 10 วัน

เงื่อนไขที่ต้องเหมือนเดิม

งานต้องมีปริมาณเท่าเดิม และคนงานแต่ละคนต้องทำงานด้วยอัตราเท่ากัน

🧪

14. ตัวอย่างการแปรผันร่วม

กำหนดให้ \(y\) แปรผันตรงกับกำลังสองของ \(x\) และแปรผกผันกับ \(z\)

\[ y=\frac{kx^2}{z} \]

เมื่อ \(x=3\), \(z=2\) และ \(y=18\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=6\) และ \(z=8\)

ขั้นที่ 1 หา \(k\)

\[ 18=\frac{k(3)^2}{2} \]
\[ 18=\frac{9k}{2} \]
\[ k=4 \]

ขั้นที่ 2 แทนข้อมูลชุดใหม่

\[ y=\frac{4(6)^2}{8} \]
\[ y=\frac{144}{8}=18 \]
ตอบ

\(y=18\)

📋

15. เงื่อนไขที่พบบ่อยในข้อสอบ

การแปรผันตรง

  • ราคาสินค้ากับจำนวนสินค้า เมื่อราคาต่อหน่วยคงที่
  • ระยะทางกับเวลา เมื่อความเร็วคงที่
  • ค่าจ้างกับจำนวนวัน เมื่อค่าจ้างต่อวันคงที่
  • เส้นรอบวงกับรัศมี

การแปรผันตรงกับกำลังสอง

  • พื้นที่วงกลมกับรัศมี
  • พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับความยาวด้าน
  • ระยะทางการตกอิสระกับเวลา ตามเงื่อนไขโจทย์

การแปรผกผัน

  • จำนวนคนงานกับเวลาทำงาน เมื่อปริมาณงานคงที่
  • ความเร็วกับเวลา เมื่อระยะทางคงที่
  • จำนวนเครื่องจักรกับเวลาผลิต เมื่อประสิทธิภาพเท่ากัน
  • จำนวนก๊อกน้ำกับเวลา เมื่ออัตราการไหลเท่ากัน

การแปรผกผันกับกำลังสอง

  • ความเข้มแสงกับระยะห่างจากแหล่งกำเนิด
  • แรงบางชนิดกับระยะห่าง ตามกฎที่โจทย์กำหนด
อย่าเดาจากบริบทเพียงอย่างเดียว

ต้องอ่านเงื่อนไขว่าอะไรคงที่ เช่น ระยะทางคงที่ ปริมาณงานคงที่ หรือประสิทธิภาพของคนงานเท่ากัน

⚡

16. สูตรลัดก่อนสอบ

\[ y\propto x \quad\Longrightarrow\quad y=kx \]
\[ y\propto x^2 \quad\Longrightarrow\quad y=kx^2 \]
\[ y\propto\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad y=k\sqrt{x} \]
\[ y\propto\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad xy=k \]
\[ y\propto\frac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad yx^2=k \]
\[ y\propto\frac{x}{z} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{kx}{z} \]
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • ลืมใส่ค่าคงตัว \(k\)
  • เขียน \(y=kx\) ทั้งที่โจทย์บอกกำลังสอง
  • วางตัวแปรที่แปรผกผันไว้ด้านบน
  • สลับอัตราส่วนผิดด้าน
  • ใช้การแปรผันตรงกับโจทย์คนงานและเวลา
  • ลืมเลือกเฉพาะคำตอบที่เป็นบวกในโจทย์เวลาและระยะทาง
✏️

17. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) เมื่อ \(x=5\) จะได้ \(y=20\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=8\)

    ดูเฉลย
    \[ y=kx \]
    \[ 20=5k \quad\Longrightarrow\quad k=4 \]
    \[ y=4(8)=32 \]

    ตอบ \(32\)

  2. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แปรผันตรงกับกำลังสองของความยาวด้าน ถ้าด้านเพิ่มเป็น 3 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็นกี่เท่า

    ดูเฉลย
    \[ 3^2=9 \]

    ตอบ 9 เท่า

  3. คนงาน 12 คนทำงานเสร็จใน 15 วัน ถ้าเพิ่มเป็น 18 คน จะใช้เวลากี่วัน

    ดูเฉลย
    \[ 12(15)=18t \]
    \[ t=10 \]

    ตอบ 10 วัน

  4. \(y\) แปรผกผันกับ \(x\) เมื่อ \(x=8\) จะได้ \(y=5\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=20\)

    ดูเฉลย
    \[ xy=k \]
    \[ 8(5)=20y \]
    \[ y=2 \]

    ตอบ \(2\)

  5. \(y\) แปรผันตรงกับกำลังสองของ \(x\) และแปรผกผันกับ \(z\) เมื่อ \(x=3\), \(z=2\) และ \(y=18\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=6\) และ \(z=8\)

    ดูเฉลย
    \[ y=\frac{kx^2}{z} \]
    \[ 18=\frac{9k}{2} \quad\Longrightarrow\quad k=4 \]
    \[ y=\frac{4(6)^2}{8}=18 \]

    ตอบ \(18\)

🎓

18. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 ระยะทางที่ก้อนหินตกอย่างอิสระ แปรผันตรงกับกำลังสองของเวลา ถ้าในเวลา 3 วินาที ก้อนหินตกได้ 4 เมตร ก้อนหินจะใช้เวลากี่วินาทีในการตกได้ 25 เมตร

ดูคำอธิบาย
\[ s=kt^2 \]
\[ 4=k(3)^2 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{4}{9} \]
\[ 25=\frac{4}{9}t^2 \]
\[ t^2=\frac{225}{4} \]
\[ t=\frac{15}{2}=7.5 \]

ตอบ B. \(7.5\) วินาที

ข้อ 2 คนงาน 8 คนทำงานเสร็จใน 15 วัน ถ้าเพิ่มเป็น 12 คน และทุกคนทำงานด้วยอัตราเท่ากัน จะใช้เวลากี่วัน

ดูคำอธิบาย

จำนวนคนงานกับเวลาเป็นการแปรผกผัน

\[ 8(15)=12t \]
\[ t=10 \]

ตอบ C. \(10\) วัน

ข้อ 3 กำหนดให้ \(y\) แปรผันตรงกับกำลังสองของ \(x\) เมื่อ \(x=2\) จะได้ \(y=8\) จงหา \(y\) เมื่อ \(x=5\)

ดูคำอธิบาย
\[ y=kx^2 \]
\[ 8=k(2)^2 \quad\Longrightarrow\quad k=2 \]
\[ y=2(5)^2=50 \]

ตอบ D. \(50\)

ข้อ 4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แปรผันตรงกับปริมาณใด

ดูคำอธิบาย

ถ้าความยาวด้านเท่ากับ \(x\) พื้นที่คือ

\[ A=x^2 \]

ดังนั้นพื้นที่แปรผันตรงกับกำลังสองของด้าน

ตอบ B

ข้อ 5 ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับ \(A\) และแปรผกผันกับ \(B\) สมการใดถูกต้อง

ดูคำอธิบาย

ปริมาณที่แปรผันตรงให้อยู่ด้านบน ส่วนปริมาณที่แปรผกผันให้อยู่ด้านล่าง

\[ y=\frac{kA}{B} \]

ตอบ C

📌

19. สรุปก่อนจบบท

\[ y\propto x \quad\Longrightarrow\quad y=kx \]
\[ y\propto x^2 \quad\Longrightarrow\quad y=kx^2 \]
\[ y\propto\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad y=k\sqrt{x} \]
\[ y\propto\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad xy=k \]
\[ y\propto\frac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad yx^2=k \]
\[ y\propto\frac{x}{z} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{kx}{z} \]
  • ฉันแยกการแปรผันตรงและการแปรผกผันได้
  • ฉันเขียนสมการโดยใส่ค่าคงตัว \(k\) ได้
  • ฉันใช้ข้อมูลชุดแรกหาค่า \(k\) ได้
  • ฉันใช้วิธีอัตราส่วนแก้โจทย์ได้
  • ฉันแยกการแปรผันกำลังสองและรากที่สองได้
  • ฉันเขียนสมการการแปรผันร่วมได้
  • ฉันตรวจสอบเงื่อนไขที่ต้องคงที่ในโจทย์ได้
หัวใจของบท

อ่านคำว่า “ตรง” “ผกผัน” “กำลังสอง” และ “รากที่สอง” ให้ชัดเจน จากนั้นเขียนสมการพร้อม \(k\) แล้วใช้ข้อมูลชุดแรกสร้างความสัมพันธ์ ก่อนแทนค่าที่โจทย์ถาม

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP26 · EP26 โจทย์ปัญหาอายุ จำนวนเต็ม และอสมการ ตอนถัดไป EP28 · EP28 สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล และการพิสูจน์โดยขัดแย้ง