ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP28
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP28 สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล และการพิสูจน์โดยขัดแย้ง

ทบทวนค่าความจริง สัจนิรันดร์ ประพจน์ขัดแย้ง สมมูลทางตรรกศาสตร์ และรูปแบบการอ้างเหตุผล

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP28 • Exam-Driven Mathematics

สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล และการพิสูจน์โดยขัดแย้ง

ทบทวนค่าความจริงของประพจน์ สัจนิรันดร์ ประพจน์ขัดแย้ง สมมูลทางตรรกศาสตร์ และเทคนิคตรวจสอบการอ้างเหตุผล ด้วยการหากรณีขัดแย้งหรือกรณีโต้แย้ง

เป้าหมายของบท

แยกสัจนิรันดร์ ประพจน์ขัดแย้ง และประพจน์ไม่แน่นอนได้ ตรวจสอบรูปแบบการอ้างเหตุผล และใช้วิธีพิสูจน์โดยขัดแย้งหาคำตอบได้อย่างเป็นขั้นตอน

🧠

1. พื้นฐานค่าความจริง

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

\[ T=\text{จริง} \qquad F=\text{เท็จ} \]

ตัวเชื่อมพื้นฐาน

\[ \neg p \quad\text{อ่านว่า ไม่ }p \]
\[ p\land q \quad\text{อ่านว่า }p\text{ และ }q \]
\[ p\lor q \quad\text{อ่านว่า }p\text{ หรือ }q \]
\[ p\rightarrow q \quad\text{อ่านว่า ถ้า }p\text{ แล้ว }q \]
\[ p\leftrightarrow q \quad\text{อ่านว่า }p\text{ ก็ต่อเมื่อ }q \]
📋

2. ตารางค่าความจริงที่ต้องจำ

2.1 ประพจน์เชื่อมด้วย “และ”

\(p\land q\) เป็นจริงเมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นจริงพร้อมกันเท่านั้น

\[ \begin{array}{c|c|c} p&q&p\land q\\ \hline T&T&T\\ T&F&F\\ F&T&F\\ F&F&F \end{array} \]

2.2 ประพจน์เชื่อมด้วย “หรือ”

\(p\lor q\) เป็นเท็จเมื่อ \(p\) และ \(q\) เป็นเท็จพร้อมกันเท่านั้น

\[ \begin{array}{c|c|c} p&q&p\lor q\\ \hline T&T&T\\ T&F&T\\ F&T&T\\ F&F&F \end{array} \]

2.3 ประพจน์เงื่อนไข

\(p\rightarrow q\) เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เหตุเป็นจริงแต่ผลเป็นเท็จ

\[ \begin{array}{c|c|c} p&q&p\rightarrow q\\ \hline T&T&T\\ T&F&F\\ F&T&T\\ F&F&T \end{array} \]
จำเงื่อนไขให้แม่น

ถ้า \(p\) แล้ว \(q\) จะผิดเพียงกรณี “รับปากว่าถ้าเกิด \(p\) ต้องเกิด \(q\) แต่ปรากฏว่า \(p\) เกิดและ \(q\) ไม่เกิด”

♾️

3. สัจนิรันดร์คืออะไร

สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะเป็นจริงหรือเท็จ

\[ \text{Tautology} = \text{จริงทุกแถว} \]

ตัวอย่างที่ 1

\[ p\lor\neg p \]
\[ \begin{array}{c|c|c} p&\neg p&p\lor\neg p\\ \hline T&F&T\\ F&T&T \end{array} \]

คอลัมน์สุดท้ายเป็นจริงทุกแถว จึงเป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 2

\[ (p\land q)\rightarrow p \]

ถ้า \(p\) และ \(q\) เป็นจริงพร้อมกัน ย่อมสรุปได้ว่า \(p\) เป็นจริง รูปแบบนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์

🚫

4. ประพจน์ขัดแย้งและประพจน์ไม่แน่นอน

4.1 ประพจน์ขัดแย้ง

ประพจน์ขัดแย้ง คือ รูปแบบประพจน์ที่เป็นเท็จทุกกรณี

\[ p\land\neg p \]
\[ \begin{array}{c|c|c} p&\neg p&p\land\neg p\\ \hline T&F&F\\ F&T&F \end{array} \]
\[ \text{Contradiction} = \text{เท็จทุกแถว} \]

4.2 ประพจน์ไม่แน่นอน

ประพจน์ที่บางกรณีเป็นจริงและบางกรณีเป็นเท็จ เรียกว่า ประพจน์ไม่แน่นอน

\[ p\rightarrow q \]

รูปแบบนี้มีทั้งแถวจริงและแถวเท็จ จึงไม่เป็นทั้งสัจนิรันดร์และประพจน์ขัดแย้ง

สรุป 3 ประเภท
  • จริงทุกแถว = สัจนิรันดร์
  • เท็จทุกแถว = ประพจน์ขัดแย้ง
  • มีทั้งจริงและเท็จ = ประพจน์ไม่แน่นอน
🔄

5. สมมูลทางตรรกศาสตร์ที่จำเป็น

5.1 กฎปฏิเสธซ้อน

\[ \neg(\neg p)\equiv p \]

5.2 กฎของเดอมอร์แกน

\[ \neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q \]
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]

5.3 ประพจน์เงื่อนไข

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]

5.4 นิเสธของประพจน์เงื่อนไข

\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

5.5 บทกลับทางตรงข้าม

\[ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow\neg p \]
ข้อควรระวัง

\(p\rightarrow q\) ไม่สมมูลกับ \(q\rightarrow p\) แต่สมมูลกับบทกลับทางตรงข้าม \(\neg q\rightarrow\neg p\)

✅

6. รูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

6.1 Modus Ponens

\[ p\rightarrow q,\quad p \quad\therefore\quad q \]

ถ้าทำยอดขายถึงเป้าหมายแล้วจะได้รับโบนัส และทำยอดขายถึงเป้าหมาย จึงสรุปว่าได้รับโบนัส

6.2 Modus Tollens

\[ p\rightarrow q,\quad\neg q \quad\therefore\quad\neg p \]

ถ้าฝนตกแล้วถนนเปียก แต่ถนนไม่เปียก จึงสรุปว่าฝนไม่ตก

6.3 Hypothetical Syllogism

\[ p\rightarrow q,\quad q\rightarrow r \quad\therefore\quad p\rightarrow r \]

6.4 Disjunctive Syllogism

\[ p\lor q,\quad\neg p \quad\therefore\quad q \]
⚠️

7. รูปแบบที่ดูเหมือนถูกแต่สรุปไม่ได้

7.1 ยืนยันผล

\[ p\rightarrow q,\quad q \quad\therefore\quad p \]

รูปแบบนี้ไม่สมเหตุสมผล เพราะ \(q\) อาจเกิดจากเหตุอื่นก็ได้

7.2 ปฏิเสธเหตุ

\[ p\rightarrow q,\quad\neg p \quad\therefore\quad\neg q \]

รูปแบบนี้ไม่สมเหตุสมผล เพราะถึงแม้ \(p\) ไม่เกิด \(q\) อาจเกิดจากเหตุอื่น

จุดหลอกสำคัญ

จาก \(p\rightarrow q\) และ \(q\) ห้ามย้อนกลับไปสรุป \(p\) และจาก \(\neg p\) ห้ามสรุป \(\neg q\)

🧭

8. ตรวจสอบการอ้างเหตุผลด้วยสัจนิรันดร์

ถ้ามีเหตุ \(P_1,P_2,\ldots,P_n\) และผลสรุปเป็น \(Q\) การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผลเมื่อ

\[ (P_1\land P_2\land\cdots\land P_n) \rightarrow Q \]

เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่าง

\[ p\rightarrow q,\quad p \quad\therefore\quad q \]

ตรวจรูปแบบ

\[ [(p\rightarrow q)\land p]\rightarrow q \]

รูปแบบนี้เป็นสัจนิรันดร์ จึงเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

💥

9. เทคนิคพิสูจน์โดยขัดแย้ง

การพิสูจน์โดยขัดแย้ง คือ สมมติให้สิ่งที่ต้องการพิสูจน์เป็นเท็จ แล้วแสดงว่าการสมมตินั้นทำให้เกิดข้อความขัดแย้ง

โครงสร้าง

  1. ต้องการพิสูจน์ว่า \(Q\) เป็นจริง
  2. สมมติว่า \(Q\) เป็นเท็จ หรือ \(\neg Q\) เป็นจริง
  3. ใช้เหตุที่โจทย์กำหนดร่วมกับ \(\neg Q\)
  4. ถ้าได้ \(R\land\neg R\) แสดงว่าเกิดข้อขัดแย้ง
  5. ดังนั้นสมมติฐาน \(\neg Q\) ผิด จึงได้ว่า \(Q\) จริง
\[ Q\text{ ต้องจริง} \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\text{ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง} \]
แนวคิดสั้นที่สุด

อยากพิสูจน์ผล \(Q\) ให้ลองสมมติผลตรงข้าม \(\neg Q\) แล้วดูว่าสามารถทำให้เหตุทั้งหมดเป็นจริงพร้อมกันได้หรือไม่

🔍

10. วิธีหากรณีโต้แย้งอย่างรวดเร็ว

ถ้าต้องการพิสูจน์ว่าการอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล ไม่จำเป็นต้องสร้างตารางค่าความจริงครบทุกแถว

ให้หาค่าความจริงเพียงกรณีเดียวที่

\[ \text{เหตุทุกข้อเป็นจริง} \]

แต่

\[ \text{ผลสรุปเป็นเท็จ} \]

กรณีนี้เรียกว่า กรณีโต้แย้ง หรือ counterexample

ตัวอย่าง

\[ p\rightarrow q,\quad q \quad\therefore\quad p \]

เลือก

\[ p=F,\qquad q=T \]

จะได้

\[ p\rightarrow q=T,\qquad q=T \]

เหตุทั้งสองเป็นจริง แต่ผลสรุป \(p\) เป็นเท็จ จึงไม่สมเหตุสมผล

ข้อสอบถามว่า “สมเหตุสมผลหรือไม่”

ถ้าหากรณีที่เหตุจริงทั้งหมดแต่ผลเท็จได้เพียงหนึ่งกรณี ตอบได้ทันทีว่าไม่สมเหตุสมผล

❓

11. ปัญหานำ

จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ข้อใดสมเหตุสมผล

  1. เหตุ: \(8\) เป็นจำนวนเฉพาะ หรือ \(5\) เป็นจำนวนเฉพาะ

    เหตุ: \(8\) ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

    ผล: \(5\) ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

  2. เหตุ: ถ้า ก ทำยอดขายตามเป้าหมาย แล้ว ก จะได้รับโบนัส

    เหตุ: ก ทำยอดขายตรงเป้าหมาย

    ผล: ก ได้รับโบนัส

  3. เหตุ: ถ้า A ซื้อกระเป๋าสีดำ แล้ว A จะซื้อรองเท้าสีดำด้วย

    เหตุ: A ซื้อรองเท้าสีดำ

    ผล: A ไม่ซื้อกระเป๋าสีดำ

  4. เหตุ: ถ้า ก ไปทำงาน แล้ว ข อยู่บ้าน

    เหตุ: ถ้า ข ไม่อยู่บ้าน แล้ว ค เป็นคนดูแลบ้าน

    เหตุ: ค ไม่ได้เป็นคนดูแลบ้าน

    ผล: ก ไม่ได้ไปทำงาน

✅

12. วิเคราะห์ปัญหานำ

ข้อ 1

กำหนดให้

\[ p:\ 8\text{ เป็นจำนวนเฉพาะ} \]
\[ q:\ 5\text{ เป็นจำนวนเฉพาะ} \]

เหตุคือ

\[ p\lor q,\quad\neg p \]

ตาม Disjunctive Syllogism ต้องสรุป \(q\) แต่โจทย์สรุป \(\neg q\) จึงไม่สมเหตุสมผล

ข้อ 2

\[ p\rightarrow q,\quad p \quad\therefore\quad q \]

เป็นรูปแบบ Modus Ponens จึงสมเหตุสมผล

ข้อ 3

\[ p\rightarrow q,\quad q \quad\therefore\quad\neg p \]

จาก \(q\) ไม่สามารถย้อนกลับไปสรุป \(\neg p\) จึงไม่สมเหตุสมผล

ข้อ 4

กำหนดให้

\[ p\rightarrow q,\quad \neg q\rightarrow r,\quad \neg r \]

จาก \(\neg q\rightarrow r\) และ \(\neg r\) ใช้ Modus Tollens ได้ว่า

\[ q \]

แต่จาก \(p\rightarrow q\) และ \(q\) ไม่สามารถสรุป \(\neg p\) จึงไม่สมเหตุสมผล

คำตอบ

มีเพียงข้อ 2 ที่สมเหตุสมผล

⚡

13. เทคนิคตัดตัวเลือกในห้องสอบ

เทคนิคที่ 1 จับรูปแบบมาตรฐาน

\[ p\rightarrow q,\ p \therefore q \]
\[ p\rightarrow q,\ \neg q \therefore\neg p \]
\[ p\lor q,\ \neg p \therefore q \]

เทคนิคที่ 2 ระวังการย้อนลูกศร

\[ p\rightarrow q \]

ลูกศรเดินจาก \(p\) ไป \(q\) ห้ามย้อนจาก \(q\) ไป \(p\) เว้นแต่โจทย์กำหนด \(q\rightarrow p\) เพิ่มเติม

เทคนิคที่ 3 หาผลตรงข้าม

ถ้าสงสัยว่าข้อสรุปผิด ให้สมมติว่าผลสรุปเป็นเท็จ แล้วตรวจว่าเหตุทั้งหมดสามารถเป็นจริงพร้อมกันได้หรือไม่

เทคนิคที่ 4 ใช้ค่าความจริงเป้าหมาย

ต้องการทำให้ \(p\rightarrow q\) เป็นเท็จ ให้กำหนดทันทีว่า

\[ p=T,\qquad q=F \]
✏️

14. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงบอกประเภทของ \(p\lor\neg p\)

    ดูเฉลย

    ไม่ว่า \(p\) จะจริงหรือเท็จ อย่างน้อยหนึ่งประพจน์ระหว่าง \(p\) และ \(\neg p\) ต้องเป็นจริง

    ตอบ สัจนิรันดร์

  2. จงบอกประเภทของ \(p\land\neg p\)

    ดูเฉลย

    \(p\) และ \(\neg p\) ไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้

    ตอบ ประพจน์ขัดแย้ง

  3. การอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

    \[ p\rightarrow q,\quad\neg q \quad\therefore\quad\neg p \]
    ดูเฉลย

    เป็นรูปแบบ Modus Tollens

    ตอบ สมเหตุสมผล

  4. จงหานิเสธของ \(p\rightarrow q\)

    ดูเฉลย
    \[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

  5. พิจารณาการอ้างเหตุผล

    \[ p\rightarrow q,\quad q \quad\therefore\quad p \]

    จงกำหนดค่าความจริงที่เป็นกรณีโต้แย้ง

    ดูเฉลย
    \[ p=F,\qquad q=T \]

    จะได้ \(p\rightarrow q\) เป็นจริง และ \(q\) เป็นจริง แต่ผลสรุป \(p\) เป็นเท็จ

🎓

15. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 การอ้างเหตุผลข้อใดสมเหตุสมผล

1. \(p\lor q,\ \neg p\therefore\neg q\)

2. \(p\rightarrow q,\ p\therefore q\)

3. \(p\rightarrow q,\ q\therefore\neg p\)

4. \(p\rightarrow q,\ q\therefore p\)

ดูคำอธิบาย
\[ p\rightarrow q,\quad p \quad\therefore\quad q \]

เป็นรูปแบบ Modus Ponens จึงสมเหตุสมผล

ตอบ B. ข้อ 2

ข้อ 2 ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์

ดูคำอธิบาย

\(p\lor\neg p\) เป็นจริงเสมอ ไม่ว่า \(p\) จะเป็นจริงหรือเท็จ

ตอบ C

ข้อ 3 นิเสธของ \(p\rightarrow q\) สมมูลกับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

ตอบ D

ข้อ 4 ต้องการแสดงว่าการอ้างเหตุผล \(p\rightarrow q,\ q\therefore p\) ไม่สมเหตุสมผล ควรกำหนดค่าความจริงใด

ดูคำอธิบาย

ต้องทำให้เหตุทั้งหมดจริงแต่ผลสรุปเท็จ

\[ p=F,\qquad q=T \]

จะได้ \(p\rightarrow q\) จริง และ \(q\) จริง แต่ผลสรุป \(p\) เท็จ

ตอบ A

ข้อ 5 ถ้าต้องการพิสูจน์ข้อความ \(Q\) ด้วยวิธีพิสูจน์โดยขัดแย้ง ควรเริ่มต้นอย่างไร

ดูคำอธิบาย

การพิสูจน์โดยขัดแย้งเริ่มจากสมมติ สิ่งตรงข้ามกับข้อความที่ต้องการพิสูจน์

\[ \text{ต้องการพิสูจน์ }Q \quad\Rightarrow\quad \text{สมมติ }\neg Q \]

แล้วแสดงว่าสมมติฐานนี้นำไปสู่ข้อขัดแย้ง

ตอบ B

📌

16. สรุปก่อนจบบท

\[ p\lor\neg p \quad\text{เป็นสัจนิรันดร์} \]
\[ p\land\neg p \quad\text{เป็นประพจน์ขัดแย้ง} \]
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]
\[ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow\neg p \]
\[ p\rightarrow q,\ p \therefore q \]
\[ p\rightarrow q,\ \neg q \therefore\neg p \]
\[ \text{เหตุจริงทั้งหมด แต่ผลเท็จ} \quad\Rightarrow\quad \text{ไม่สมเหตุสมผล} \]
  • ฉันแยกสัจนิรันดร์และประพจน์ขัดแย้งได้
  • ฉันจำค่าความจริงของประพจน์เงื่อนไขได้
  • ฉันใช้นิเสธของประพจน์เงื่อนไขได้
  • ฉันรู้จัก Modus Ponens และ Modus Tollens
  • ฉันระวังการยืนยันผลและการปฏิเสธเหตุได้
  • ฉันหากรณีโต้แย้งได้
  • ฉันใช้แนวคิดพิสูจน์โดยขัดแย้งได้
หัวใจของบท

การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล เมื่อไม่สามารถหากรณีที่เหตุทั้งหมดเป็นจริง แต่ผลสรุปเป็นเท็จได้ หากพบเพียงหนึ่งกรณี การอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผลทันที

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP27 · EP27 การแปรผันตรง การแปรผกผัน และการแปรผันร่วม ตอนถัดไป EP29 · EP29 การประยุกต์การแปรผันกับพื้นที่และปริมาตร