เซต การดำเนินการของเซต และแผนภาพเวนน์
เรียนรู้การจัดกลุ่มข้อมูล การหาส่วนร่วม ส่วนรวม และการแก้โจทย์นับจำนวนด้วยแผนภาพเวนน์
อ่านสัญลักษณ์เซต ดำเนินการกับเซต และแก้โจทย์จำนวนสมาชิกของสองเซตได้
1. ปัญหานำ
ในห้องหนึ่งมีนักเรียนชอบคณิตศาสตร์ 18 คน ชอบภาษาอังกฤษ 12 คน และชอบทั้งสองวิชา 5 คน มีนักเรียนที่ชอบอย่างน้อยหนึ่งวิชากี่คน
นักเรียนที่ชอบทั้งสองวิชาถูกนับซ้ำจากทั้งกลุ่มคณิตศาสตร์และกลุ่มภาษาอังกฤษ
2. ความหมายของเซต
เซตคือกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ระบุสมาชิกได้ชัดเจน
- 1∈A หมายถึง 1 เป็นสมาชิกของ A
- 5∉A หมายถึง 5 ไม่เป็นสมาชิกของ A
- n(A) หมายถึงจำนวนสมาชิกของ A
3. การเขียนเซต
แบบแจกแจงสมาชิก
แบบบอกเงื่อนไข
สมาชิกที่ซ้ำกันเขียนเพียงครั้งเดียว และลำดับสมาชิกไม่สำคัญ
4. เซตว่างและเอกภพสัมพัทธ์
เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิก
U คือขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่กำลังพิจารณา
∅ ไม่มีสมาชิก แต่ {∅} มีสมาชิกหนึ่งตัว คือเซตว่าง
5. สับเซต
A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A อยู่ใน B
ถ้าเซตหนึ่งมี n สมาชิก จำนวนสับเซตทั้งหมดคือ
จำนวนสับเซตแท้คือ
6. ยูเนียน
A∪B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B หรืออยู่ในทั้งสองเซต
ยูเนียน = รวมทั้งหมด โดยไม่เขียนสมาชิกซ้ำ
7. อินเตอร์เซกชัน
A∩B คือสมาชิกที่อยู่ร่วมกันในทั้ง A และ B
ถ้า A∩B=∅ เรียกว่าเซตไม่ทับซ้อนกัน
8. ผลต่างและส่วนเติมเต็ม
ตัวอย่าง U={1,2,3,4,5}, A={1,3,5}
9. สูตรจำนวนสมาชิกสองเซต
ส่วนที่อยู่ตรงกลางถูกนับสองครั้ง จึงต้องลบออกหนึ่งครั้ง
10. สมบัติสำคัญของเซต
- A∪B=B∪A และ A∩B=B∩A
- A∪A=A และ A∩A=A
- A∪∅=A และ A∩U=A
- A∩A′=∅ และ A∪A′=U
11. เทคนิคทำโจทย์แผนภาพเวนน์
- ใส่จำนวนที่อยู่ทั้งสองเซตตรงกลางก่อน
- หาจำนวนที่อยู่ในแต่ละเซตอย่างเดียว
- รวมพื้นที่ในวงกลมเพื่อหาอย่างน้อยหนึ่งเซต
- ใช้จำนวนทั้งหมดลบอย่างน้อยหนึ่งเซต เพื่อหาคนนอกวง
- ตรวจว่าผลรวมทุกส่วนเท่ากับจำนวนทั้งหมด
12. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
กำหนด A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6} จงหา A∪B และ A∩B
ดูเฉลย
A∪B={1,2,3,4,5,6}
A∩B={3,4}
กำหนด U={1,2,3,4,5,6}, A={2,4,6} จงหา A′
ดูเฉลย
A′={1,3,5}
เซตหนึ่งมีสมาชิก 5 ตัว จะมีสับเซตทั้งหมดกี่เซต
ดูเฉลย
2⁵=32 เซต
n(A)=24, n(B)=18 และ n(A∩B)=7 จงหา n(A∪B)
ดูเฉลย
24+18−7=35
นักเรียนทั้งหมด 50 คน ชอบฟุตบอล 28 คน ชอบวอลเลย์บอล 20 คน และชอบทั้งสองชนิด 8 คน ไม่ชอบทั้งสองชนิดกี่คน
ดูเฉลย
ชอบอย่างน้อยหนึ่งชนิด=28+20−8=40
ไม่ชอบทั้งสองชนิด=50−40=10 คน
13. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
14. สรุป
- ∈ ใช้กับสมาชิก ส่วน ⊆ ใช้กับเซต
- เซตที่มี n สมาชิก มีสับเซต 2ⁿ เซต
- ยูเนียนคือรวม อินเตอร์เซกชันคือส่วนร่วม
- เริ่มเติมแผนภาพเวนน์จากส่วนตรงกลาง
- ตรวจผลรวมทุกส่วนให้เท่ากับจำนวนทั้งหมด
กำหนดเซต → หาเขตซ้อน → หาแต่ละส่วน → ใช้สูตรจำนวนสมาชิก → ตรวจผลรวม