ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ประพจน์ และค่าความจริง
เรียนรู้การแปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์ ตรวจค่าความจริง และใช้เหตุผลอย่างเป็นระบบ
แยกประพจน์ อ่านตัวเชื่อม สร้างตารางค่าความจริง และตรวจความสมมูลได้
1. ปัญหานำ
กำหนดข้อความว่า “ถ้าฝนตก แล้วถนนเปียก”
ประพจน์นี้จะเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ ฝนตกจริง แต่ถนนไม่เปียก
2. ประพจน์คืออะไร
ประพจน์คือประโยคบอกเล่าที่สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
ประโยคคำถาม คำสั่ง คำขอร้อง และประโยคที่ยังไม่ทราบค่าตัวแปร
3. ค่าความจริง
ประพจน์หนึ่งประพจน์ต้องมีค่าความจริงเพียงค่าเดียวในสถานการณ์ที่กำหนด
4. การปฏิเสธ
- ถ้า P จริง แล้ว ¬P เท็จ
- ถ้า P เท็จ แล้ว ¬P จริง
ตัวอย่าง P: “5 เป็นจำนวนคี่”
5. AND และ OR
- AND จริงเมื่อทั้งคู่จริง
- OR จริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งประพจน์จริง
AND ต้องครบทุกเงื่อนไข ส่วน OR ขอเพียงมีจริงอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไข
6. ถ้า...แล้ว...
ประพจน์เชิงเงื่อนไขจะเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว
“รับปากแล้วทำไม่ได้” คือกรณีที่ประพจน์ถ้า...แล้ว...เป็นเท็จ
7. ก็ต่อเมื่อ
จะเป็นจริงเมื่อ P และ Q มีค่าความจริงเหมือนกัน
- จริง–จริง → จริง
- เท็จ–เท็จ → จริง
- ค่าต่างกัน → เท็จ
8. ตารางค่าความจริง
| P | Q | P∧Q | P∨Q | P→Q | P↔Q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
9. ประพจน์สมมูล
ประพจน์สองประพจน์สมมูลกัน เมื่อมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี
สร้างตารางค่าความจริง แล้วเปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้าย
10. บทกลับ บทผกผัน และบทแย้ง
เริ่มจาก P→Q
ประพจน์เดิมสมมูลกับบทแย้ง แต่ไม่จำเป็นต้องสมมูลกับบทกลับหรือบทผกผัน
11. กฎของเดอมอร์แกน
เมื่อเครื่องหมายปฏิเสธกระจายเข้าไป ให้เปลี่ยน AND เป็น OR และเปลี่ยน OR เป็น AND
12. สัจจนิรันดร์และข้อขัดแย้ง
สัจจนิรันดร์ คือประพจน์ที่จริงทุกกรณี
ข้อขัดแย้ง คือประพจน์ที่เท็จทุกกรณี
13. การอ้างเหตุผลที่สำคัญ
Modus Ponens
Modus Tollens
จาก P→Q และ Q ไม่สามารถสรุป P ได้ทันที เพราะเป็นการยืนยันผล
14. เทคนิคทำข้อสอบ
- กำหนด P และ Q ให้ชัดก่อน
- วงคำว่า ไม่, และ, หรือ, ถ้า...แล้ว, ก็ต่อเมื่อ
- ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว ตารางมี 4 แถว
- เริ่มคำนวณจากวงเล็บด้านใน
- ตรวจ P→Q ที่กรณีจริง→เท็จเป็นพิเศษ
- หาสมมูลให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้าย
15. แบบฝึกหัด 5 ข้อ
กำหนด P เป็นจริง และ Q เป็นเท็จ จงหาค่าของ P∧Q และ P∨Q
ดูเฉลย
P∧Q เป็นเท็จ และ P∨Q เป็นจริง
กำหนด P เป็นจริง และ Q เป็นเท็จ จงหาค่าของ P→Q
ดูเฉลย
เท็จ เพราะเป็นกรณีจริง→เท็จ
เขียนนิเสธของข้อความ “สมชายขยันและสมชายตรงเวลา”
ดูเฉลย
สมชายไม่ขยัน หรือ สมชายไม่ตรงเวลา
เขียนบทแย้งของ “ถ้าฝนตกแล้วถนนเปียก”
ดูเฉลย
ถ้าถนนไม่เปียกแล้วฝนไม่ตก
ตรวจว่า P∨¬P เป็นสัจจนิรันดร์หรือไม่
ดูเฉลย
เมื่อ P จริง จะได้จริง∨เท็จ และเมื่อ P เท็จ จะได้เท็จ∨จริง
เป็นสัจจนิรันดร์
16. แบบทดสอบท้ายบท 30 ข้อ
ระดับพื้นฐาน ข้อ 1–10
ระดับปานกลาง ข้อ 11–20
ระดับประยุกต์ ข้อ 21–30
17. สรุป
- AND จริงเมื่อจริงทั้งคู่
- OR เท็จเมื่อเท็จทั้งคู่
- IF THEN เท็จเฉพาะจริง→เท็จ
- IFF จริงเมื่อค่าความจริงเหมือนกัน
- ประพจน์เดิมสมมูลกับบทแย้ง
กำหนด P,Q → แปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์ → สร้างตาราง → คำนวณค่าความจริง → สรุปผล