ค่าเฉลี่ยและการหาค่าสูงสุด–ต่ำสุดภายใต้เงื่อนไข
โจทย์ค่าเฉลี่ยบางข้อไม่ได้ถามค่าเฉลี่ยโดยตรง แต่ให้ค่าเฉลี่ยมาเพื่อย้อนหาผลรวม แล้วใช้เงื่อนไขการเรียงลำดับเพื่อหาค่ามากที่สุด หรือน้อยที่สุดที่เป็นไปได้
ย้อนหาผลรวมจากค่าเฉลี่ย และใช้หลักคิดแบบสุดโต่งเพื่อหาคำตอบได้
ปัญหานำจากแนวข้อสอบ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก 5 จำนวนเท่ากับ 450
เมื่อเรียงจำนวนจากมากไปน้อย พบว่าสองจำนวนสุดท้ายคือ 123 และ 120
จำนวนที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ตรงกับข้อใด
- 1,758
- 1,759
- 1,760
- 1,761
- ผลรวมของจำนวนทั้งห้าเป็นเท่าใด?
- ถ้าต้องการให้จำนวนแรกมากที่สุด จำนวนอื่นควรเป็นอย่างไร?
- จำนวนที่สามจะต่ำกว่า 123 ได้หรือไม่?
1. วิเคราะห์ปัญหา
ให้จำนวนทั้งห้าเรียงจากมากไปน้อยเป็น
โจทย์ถามค่ามากที่สุดของ a โดยที่ผลรวมของจำนวนทั้งหมดคงที่
แต่เนื่องจากเรียงจากมากไปน้อย b และ c ต้องไม่น้อยกว่า 123
2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- การย้อนหาผลรวม
- การเรียงข้อมูลจากมากไปน้อย
- การหาค่าสูงสุดภายใต้ผลรวมคงที่
- การตรวจสอบว่าอนุญาตให้ข้อมูลซ้ำได้หรือไม่
3. สูตรและหลักคิดที่จำเป็น
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
จึงย้อนกลับได้ว่า
หลักคิดแบบสุดโต่ง
ถ้าโจทย์ไม่ได้ระบุว่าเป็นจำนวนต่างกัน จำนวนหลายจำนวนสามารถมีค่าเท่ากันได้
4. กลับมาแก้ปัญหานำ
ขั้นที่ 1 หาผลรวมของจำนวนทั้งห้า
ขั้นที่ 2 กำหนดค่าต่ำสุดของจำนวนที่เหลือ
เรียงจากมากไปน้อยเป็น
เพื่อให้ a มากที่สุด ให้เลือก
ขั้นที่ 3 หาค่า a
5. รูปแบบที่ควรจำ
- ใช้ 450 เป็นผลรวมแทนค่าเฉลี่ย
- กำหนดจำนวนที่สามต่ำกว่า 123
- คิดว่าจำนวนห้าจำนวนต้องแตกต่างกัน
- ลืมตรวจลำดับจากมากไปน้อย
6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ
-
จำนวน 6 จำนวนมีค่าเฉลี่ย 25 ผลรวมของจำนวนทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
ผลรวม = 25 × 6 = 150ตอบ 150
-
จำนวน 5 จำนวนมีผลรวม 300 ค่าเฉลี่ยเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
ค่าเฉลี่ย = 300 ÷ 5 = 60ตอบ 60
-
จำนวนเต็มบวก 4 จำนวนมีค่าเฉลี่ย 20 ถ้าสามจำนวนคือ 10, 15 และ 25 จำนวนที่เหลือเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
ผลรวม = 20 × 4 = 80จำนวนที่เหลือ = 80 − (10 + 15 + 25) = 30ตอบ 30
-
จำนวนเต็มบวก 4 จำนวนเรียงจากมากไปน้อย มีค่าเฉลี่ย 30 และสองจำนวนสุดท้ายคือ 12 กับ 10 จำนวนแรกมากที่สุดได้เท่าใด
ดูเฉลย
ผลรวม = 30 × 4 = 120จำนวนที่สองมีค่าต่ำสุดเท่ากับ 12
จำนวนแรก = 120 − 12 − 12 − 10 = 86ตอบ 86
-
จำนวน 5 จำนวนมีค่าเฉลี่ย 40 ถ้านำจำนวน 20 ออก ค่าเฉลี่ยของจำนวนที่เหลือเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
ผลรวมเดิม = 40 × 5 = 200ผลรวมใหม่ = 200 − 20 = 180ค่าเฉลี่ยใหม่ = 180 ÷ 4 = 45ตอบ 45
7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ
8. สรุปก่อนจบบท
- ฉันย้อนหาผลรวมจากค่าเฉลี่ยได้
- ฉันหาค่าเฉลี่ยจากผลรวมได้
- ฉันวิเคราะห์เงื่อนไขการเรียงลำดับได้
- ฉันใช้หลักคิดแบบสุดโต่งได้
- ฉันหาค่าเฉลี่ยใหม่เมื่อเพิ่มหรือลบข้อมูลได้
เมื่อผลรวมคงที่และโจทย์ถามค่าสูงสุด ให้ทำค่าที่เหลือให้ต่ำที่สุดเท่าที่เงื่อนไขอนุญาต แล้วนำผลรวมลบออกเพื่อหาคำตอบ