ความน่าจะเป็นจากเหรียญ ลูกเต๋า และการหยิบแบบไม่ใส่คืน
โจทย์ความน่าจะเป็นไม่ได้ยากเพราะการคำนวณ แต่ยากตรงที่ต้องแยกให้ออกว่าเหตุการณ์ใดเป็นอิสระ เหตุการณ์ใดส่งผลต่อกัน และควรใช้กฎคูณหรือการแจกแจงกรณี
วิเคราะห์เหตุการณ์สุ่ม หาจำนวนผลลัพธ์ ใช้กฎคูณ และแก้โจทย์การหยิบแบบไม่ใส่คืนได้
ปัญหานำข้อที่ 1
โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญออกหัว และลูกเต๋าออกแต้มซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตรงกับข้อใด
- 0.20
- 0.25
- 0.33
- 0.42
- จำนวนเฉพาะบนหน้าลูกเต๋ามีอะไรบ้าง?
- ผลของเหรียญส่งผลต่อผลของลูกเต๋าหรือไม่?
- คำว่า “และ” ควรใช้การบวกหรือการคูณ?
ปัญหานำข้อที่ 2
ในกล่องมีลูกบอล 3 ลูก ได้แก่ สีแดง สีเขียว และสีเหลือง อย่างละ 1 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลทีละลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกที่สองเป็นสีเขียวเท่ากับเท่าใด
- 1/6
- 5/6
- 2/3
- 1/3
- ลูกบอลสีเขียวมีโอกาสอยู่ตำแหน่งใดได้บ้าง?
- ทุกตำแหน่งมีโอกาสเท่ากันหรือไม่?
- จำเป็นต้องแจกแจงลำดับทั้งหมดหรือไม่?
1. วิเคราะห์ปัญหา
ปัญหาข้อแรกเป็นการทดลองสองอย่างที่ไม่ส่งผลต่อกัน ได้แก่ การโยนเหรียญและการทอดลูกเต๋า จึงเป็นเหตุการณ์อิสระ
ปัญหาข้อที่สองเป็นการหยิบแบบไม่ใส่คืน จำนวนสิ่งของในกล่องจะลดลงหลังการหยิบแต่ละครั้ง จึงเป็นเหตุการณ์ที่ส่งผลต่อกัน
2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้
- การทดลองสุ่มและผลลัพธ์
- ความน่าจะเป็นพื้นฐาน
- เหตุการณ์อิสระ
- กฎคูณเมื่อโจทย์ใช้คำว่า “และ”
- การหยิบแบบใส่คืนและไม่ใส่คืน
- การแจกแจงลำดับ
- หลักสมมาตรของตำแหน่ง
3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น
3.1 ความน่าจะเป็นพื้นฐาน
ค่าความน่าจะเป็นต้องอยู่ระหว่าง 0 และ 1
3.2 จำนวนเฉพาะบนลูกเต๋า
หน้าลูกเต๋ามาตรฐานมีแต้ม
จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวหารบวกสองตัว ได้แก่ 1 และตัวมันเอง
เลข 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
3.3 เหตุการณ์อิสระ
เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระ เมื่อผลของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลต่ออีกเหตุการณ์หนึ่ง
ตัวอย่างที่มักเป็นอิสระ
- โยนเหรียญกับทอดลูกเต๋า
- โยนเหรียญสองเหรียญ
- ทอดลูกเต๋าสองลูก
3.4 การหยิบแบบไม่ใส่คืน
เมื่อหยิบสิ่งของออกแล้วไม่ใส่คืน จำนวนสิ่งของทั้งหมดและองค์ประกอบที่เหลือจะเปลี่ยน
ถ้ามีสิ่งของต่างกัน n ชิ้น และสุ่มเรียงโดยยุติธรรม สิ่งของแต่ละชิ้นมีโอกาสอยู่ในแต่ละตำแหน่งเท่ากับ 1/n
4. กลับมาแก้ปัญหานำข้อที่ 1
ขั้นที่ 1 หาโอกาสที่เหรียญออกหัว
ขั้นที่ 2 หาโอกาสที่ลูกเต๋าออกจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะบนลูกเต๋าคือ 2, 3 และ 5 มี 3 ผลลัพธ์จากทั้งหมด 6 ผลลัพธ์
ขั้นที่ 3 ใช้กฎคูณ
5. กลับมาแก้ปัญหานำข้อที่ 2
วิธีที่ 1 ใช้หลักสมมาตร
ลูกบอลสีเขียวมีโอกาสอยู่ในตำแหน่งที่ 1, 2 หรือ 3 เท่ากันทุกตำแหน่ง
วิธีที่ 2 แจกแจงลำดับ
ใช้ตัวอักษรแทนสี
ลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 6 แบบ
ลำดับที่ลูกที่สองเป็นสีเขียวคือ
6. รูปแบบที่ควรจำ
- นับเลข 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
- ใช้กฎบวกกับคำว่า “และ”
- หยิบแบบไม่ใส่คืนแต่ใช้ตัวส่วนเดิม
- นับลำดับที่เป็นไปได้ไม่ครบ
- ตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ทั้งที่ตัวเลือกเป็นทศนิยม
7. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ
-
โยนเหรียญ 1 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ออกก้อยเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
P(ก้อย) = 1/2ตอบ 1/2
-
ทอดลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ออกแต้มคู่เท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
แต้มคู่คือ 2, 4 และ 6
P(แต้มคู่) = 3/6 = 1/2ตอบ 1/2
-
โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเต๋า 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่ออกก้อยและลูกเต๋าออก 6 เท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
P = 1/2 × 1/6 = 1/12ตอบ 1/12
-
ในถุงมีลูกบอลแดง 2 ลูก และน้ำเงิน 1 ลูก หยิบ 1 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
P(แดง) = 2/3ตอบ 2/3
-
มีบัตรหมายเลข 1, 2, 3 และ 4 สุ่มเรียงบัตรทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่บัตรหมายเลข 3 อยู่ในตำแหน่งที่สองเท่ากับเท่าใด
ดูเฉลย
บัตรหมายเลข 3 มีโอกาสอยู่ใน 4 ตำแหน่งเท่ากัน
P = 1/4ตอบ 1/4
8. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ
9. สรุปก่อนจบบท
- ฉันหาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้
- ฉันแยกเหตุการณ์อิสระได้
- ฉันใช้กฎคูณกับคำว่า “และ” ได้
- ฉันแก้โจทย์หยิบแบบไม่ใส่คืนได้
- ฉันใช้หลักสมมาตรของตำแหน่งได้
- ฉันจำได้ว่า 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ก่อนคำนวณ ให้ถามก่อนว่าเหตุการณ์ส่งผลต่อกันหรือไม่ ถ้าไม่ส่งผลต่อกันให้ใช้กฎคูณ แต่ถ้าเป็นการหยิบแบบไม่ใส่คืน ต้องปรับจำนวนสิ่งของที่เหลือทุกครั้ง