ตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของประโยค
เรียนรู้การอ่านสัญลักษณ์ ∀ และ ∃ วิเคราะห์ลำดับของตัวบ่งปริมาณ และใช้ตัวอย่างโต้แย้งเพื่อตรวจค่าความจริง
อ่านประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณได้ เลือกค่าที่เหมาะสมมาตรวจสอบ และหาประโยคที่เป็นเท็จจากแนวข้อสอบได้
ปัญหานำจากแนวข้อสอบ
กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนเต็ม ประโยคต่อไปนี้ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- ∃x∀y [x + y = y]
- ∀y∃x [xy = y]
- ∃x∀y [x > y + 1]
- ∀y∃x [y = x + 1]
- ∀ หมายถึงต้องจริงกี่ค่า?
- ∃ ต้องหาได้อย่างน้อยกี่ค่า?
- จำนวนเต็มมีค่ามากที่สุดหรือไม่?
- ลำดับของ ∀ และ ∃ มีผลต่อความหมายหรือไม่?
1. ความหมายของตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณทุกค่า
อ่านว่า “สำหรับทุกค่า x ประโยค P(x) เป็นจริง” จึงต้องจริงทุกค่า หากมีเพียงค่าเดียวที่ผิด ประโยคทั้งหมดจะเป็นเท็จ
ตัวบ่งปริมาณมีอย่างน้อยหนึ่งค่า
อ่านว่า “มี x อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทำให้ P(x) เป็นจริง” ดังนั้นหาได้เพียงหนึ่งค่าก็เพียงพอ
∀ = ต้องผ่านทุกค่า
∃ = หาให้ได้อย่างน้อยหนึ่งค่า
2. วิธีตรวจค่าความจริง
เมื่อพบ ∃
ให้พยายามหาค่าตัวอย่างหนึ่งค่าที่ทำให้ประโยคเป็นจริง
เลือก x = 3 จะได้ 3² = 9 จึงเป็นจริง
เมื่อพบ ∀
ให้พยายามหาตัวอย่างโต้แย้ง หรือค่าหนึ่งค่าที่ทำให้ประโยคผิด
เลือก x = 0 จะได้ 0 > 0 ซึ่งผิด จึงทำให้ประโยคทั้งหมดเป็นเท็จ
ต้องตรวจสอบเซตของตัวแปรก่อนเสมอ เช่น จำนวนเต็ม จำนวนจริง หรือจำนวนธรรมชาติ เพราะอาจทำให้ค่าความจริงต่างกัน
3. ลำดับของตัวบ่งปริมาณ
สำหรับ y ทุกค่า เราสามารถเลือก x ให้เปลี่ยนตาม y ได้
ต้องมี x เพียงค่าหนึ่ง ที่ใช้ได้กับ y ทุกค่า
∀y∃x อนุญาตให้ x เปลี่ยนตาม y
แต่ ∃x∀y ต้องใช้ x ค่าเดิมกับ y ทุกค่า
4. กลับมาแก้ปัญหานำ
ข้อ 1
เลือก x = 0 จะได้
เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม y ทุกค่า ดังนั้นข้อ 1 เป็นจริง
ข้อ 2
สำหรับ y ทุกค่า เลือก x = 1 จะได้
ดังนั้นข้อ 2 เป็นจริง
ข้อ 3
ประโยคนี้กล่าวว่า มีจำนวนเต็ม x ค่าหนึ่ง ที่มากกว่า y + 1 สำหรับ y ทุกค่า
สมมติว่ามี x ดังกล่าว แล้วเลือก y = x จะได้
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจำนวนเต็มไม่มีค่ามากที่สุด ดังนั้นข้อ 3 เป็นเท็จ
ข้อ 4
สำหรับ y ทุกค่า เลือก
จะได้
ดังนั้นข้อ 4 เป็นจริง
เพราะไม่มีจำนวนเต็มค่าหนึ่ง ที่มากกว่าจำนวนเต็มทุกค่าได้
5. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น
- อ่าน ∀ เป็น “มีบางค่า”
- อ่าน ∃ เป็น “ทุกค่า”
- สลับความหมายของ ∀y∃x กับ ∃x∀y
- ไม่ตรวจสอบเซตของตัวแปร
- พยายามแทนหลายค่า ทั้งที่ใช้ตัวอย่างเดียวก็พอ
6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ
-
เมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม จงพิจารณาค่าความจริงของ
∃x [x² = 16]ดูเฉลย
เลือก x = 4 หรือ x = −4 จะได้ x² = 16
ตอบ จริง
-
เมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม จงพิจารณาค่าความจริงของ
∀x [x² ≥ 0]ดูเฉลย
กำลังสองของจำนวนเต็มทุกจำนวน มีค่าไม่ติดลบ
ตอบ จริง
-
เมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม จงพิจารณาค่าความจริงของ
∀x [x > 0]ดูเฉลย
เลือก x = 0 จะได้ 0 > 0 ซึ่งเป็นเท็จ
ตอบ เท็จ
-
เมื่อ x เป็นจำนวนจริง จงพิจารณาค่าความจริงของ
∃x [x² + 1 = 0]ดูเฉลย
เพราะ x² ≥ 0 จึงมี x² + 1 ≥ 1 ไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้
ตอบ เท็จ
-
เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม จงพิจารณาค่าความจริงของ
∀x∃y [y = x + 2]ดูเฉลย
สำหรับ x ทุกค่า เลือก y = x + 2 ได้เสมอ
ตอบ จริง
7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ
8. สรุปก่อนจบบท
- ฉันอ่านสัญลักษณ์ ∀ และ ∃ ได้
- ฉันตรวจค่าความจริงของประโยคได้
- ฉันหาตัวอย่างโต้แย้งได้
- ฉันเข้าใจลำดับของตัวบ่งปริมาณ
- ฉันตรวจสอบเซตของตัวแปรก่อนทำโจทย์
เมื่อพบ ∀ ให้ลองหาค่าที่ทำให้ผิด แต่เมื่อพบ ∃ ให้หาค่าหนึ่งค่าที่ทำให้จริง และต้องอ่านตัวบ่งปริมาณตามลำดับจากซ้ายไปขวา