EP18 : การย่อเศษส่วนพหุนามและตัวดำเนินการกำหนดใหม่

🎯

EP18 • Exam-Driven Mathematics

การย่อเศษส่วนพหุนามและตัวดำเนินการกำหนดใหม่

โจทย์บางข้อเชื่อมการแยกตัวประกอบ การหารเศษส่วนพหุนาม และตัวดำเนินการที่นิยามขึ้นใหม่ไว้ในข้อเดียว

เป้าหมาย

แยกตัวประกอบ ย่อเศษส่วนพหุนาม เปลี่ยนการหารเป็นการคูณส่วนกลับ และแทนค่าในนิยามตัวดำเนินการได้ถูกต้อง

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดให้ k เป็นผลลัพธ์ของ

(2x³ − 54)/(x² − 9) ÷ (4x² + 12x + 36)/(14x + 42)

และกำหนดตัวดำเนินการ

A ⊕ B = 3A + 2B − 5

จงหาค่าของ

2k ⊕ 10

57
65
70
81

ลองคิดก่อน

2x³ − 54 แยกตัวประกอบอย่างไร?
x² − 9 เป็นผลต่างกำลังสองหรือไม่?
การหารเศษส่วนต้องเปลี่ยนเป็นการคูณอะไร?
ใน 2k ⊕ 10 ค่า A และ B คืออะไร?

🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

ต้องหาค่า k ก่อน โดยแยกตัวประกอบเศษและส่วนทุกพจน์ แล้วจึงย่อพจน์ที่เป็นตัวประกอบร่วม

แยกตัวประกอบ → คูณส่วนกลับ → ตัดตัวประกอบร่วม → หา k → แทนใน A ⊕ B

เครื่องหมาย ⊕ ไม่ใช่การบวกตามปกติ แต่ต้องใช้สูตรที่โจทย์กำหนดเท่านั้น

🧭

2. สูตรและสมบัติที่จำเป็น

ผลต่างกำลังสอง

a² − b² = (a − b)(a + b)

ผลต่างกำลังสาม

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

การหารเศษส่วน

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

ตัวดำเนินการกำหนดใหม่

ถ้าโจทย์กำหนด

A ⊕ B = 3A + 2B − 5

ต้องแทนค่าตามตำแหน่งของ A และ B ไม่ใช่นำ A กับ B มาบวกกัน

เงื่อนไขของตัวแปร

จากตัวส่วนเดิมต้องมี x ≠ 3 และ x ≠ −3

🧩

3. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 แยกตัวประกอบเศษส่วนแรก

2x³ − 54 = 2(x³ − 27)

= 2(x − 3)(x² + 3x + 9)

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

จึงได้

(2x³ − 54)/(x² − 9) = 2(x² + 3x + 9)/(x + 3)

ขั้นที่ 2 แยกตัวประกอบเศษส่วนที่สอง

4x² + 12x + 36 = 4(x² + 3x + 9)

14x + 42 = 14(x + 3)

ขั้นที่ 3 เปลี่ยนการหารเป็นคูณส่วนกลับ

k = [2(x² + 3x + 9)/(x + 3)] × [14(x + 3)/4(x² + 3x + 9)]

ตัดตัวประกอบร่วม x + 3 และ x² + 3x + 9

k = (2 × 14)/4

k = 7

ขั้นที่ 4 หา 2k ⊕ 10

2k = 2(7) = 14

จากนิยาม

A ⊕ B = 3A + 2B − 5

ในข้อนี้

A = 14 และ B = 10

14 ⊕ 10 = 3(14) + 2(10) − 5

= 42 + 20 − 5 = 57

ตอบ ข้อ 1 — 57

⚡

4. รูปแบบที่ควรจำ

เห็น x² − a² → (x − a)(x + a)

เห็น x³ − a³ → (x − a)(x² + ax + a²)

หารเศษส่วน → คูณด้วยส่วนกลับ

ตัดได้เฉพาะตัวประกอบ ไม่ตัดพจน์ที่บวกหรือลบกัน

สัญลักษณ์กำหนดใหม่ → อ่านนิยาม → ระบุ A และ B → แทนค่าตามตำแหน่ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

แยก x³ − 27 เป็น (x − 3)(x² − 3x + 9)
ไม่กลับเศษกับส่วนของเศษส่วนที่นำมาหาร
ตัด x กับ x + 3 ซึ่งไม่ใช่ตัวประกอบร่วม
คิดว่า 2k ⊕ 10 เท่ากับ 2(k ⊕ 10)
คำนวณ ⊕ เป็นการบวกธรรมดา

✏️

5. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

จงแยกตัวประกอบ

x² − 25

ดูเฉลย

x² − 25 = (x − 5)(x + 5)

ตอบ (x − 5)(x + 5)
จงแยกตัวประกอบ

x³ − 8

ดูเฉลย

x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4)

ตอบ (x − 2)(x² + 2x + 4)
จงหาค่าของ

(3/4) ÷ (9/8)

ดูเฉลย

3/4 × 8/9 = 24/36 = 2/3

ตอบ 2/3
ถ้ากำหนด A ★ B = 2A + B จงหา 4 ★ 7

ดูเฉลย

4 ★ 7 = 2(4) + 7 = 15

ตอบ 15
ถ้ากำหนด A △ B = A² − B จงหา 5 △ 9

ดูเฉลย

5 △ 9 = 5² − 9 = 16

ตอบ 16

🎓

6. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

กำหนดให้

k = (2x³−54)/(x²−9) ÷ (4x²+12x+36)/(14x+42)

และกำหนดตัวดำเนินการ

A ⊕ B = 3A + 2B − 5

จงหาค่าของ 2k ⊕ 10

A. 57 B. 65 C. 70 D. 81

ดูคำอธิบาย

k = 7

2k = 14

14 ⊕ 10 = 3(14) + 2(10) − 5 = 57

ตอบ A. 57

ข้อ 2 จงหาค่าของ [(x² − 9)/(x − 3)] เมื่อ x = 5 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

ดูคำอธิบาย

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

(x² − 9)/(x − 3) = x + 3

เมื่อ x = 5 ได้ 5 + 3 = 8

ตอบ C. 8

ข้อ 3 จงย่อ [(x³ − 8)/(x − 2)] เมื่อ x ≠ 2 A. x² − 2x + 4 B. x² + 2x + 4 C. x² + 4 D. x² − 4

ดูคำอธิบาย

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)

คำตอบ = x² + 2x + 4

ตอบ B

ข้อ 4 กำหนดให้ A ⊙ B = A² + 2B − 3 จงหา 4 ⊙ 5 A. 17 B. 19 C. 21 D. 23

ดูคำอธิบาย

4 ⊙ 5 = 4² + 2(5) − 3

= 16 + 10 − 3 = 23

ตอบ D. 23

ข้อ 5 กำหนดให้ A □ B = 2A − 3B + 4 จงหา (5 □ 2) □ 1 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

ดูคำอธิบาย

5 □ 2 = 2(5) − 3(2) + 4 = 8

8 □ 1 = 2(8) − 3(1) + 4 = 17

ตอบ A. 17

📌

7. สรุปก่อนจบบท

a² − b² = (a − b)(a + b)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

หารเศษส่วน = คูณด้วยส่วนกลับ

ตัวดำเนินการกำหนดใหม่ → ใช้นิยามของโจทย์

ฉันแยกผลต่างกำลังสองได้
ฉันแยกผลต่างกำลังสามได้
ฉันหารเศษส่วนพหุนามได้
ฉันตัดเฉพาะตัวประกอบร่วมได้
ฉันระบุข้อจำกัดของตัวแปรได้
ฉันแทนค่าในตัวดำเนินการกำหนดใหม่ได้

แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อพบเศษส่วนพหุนาม ให้แยกตัวประกอบทุกส่วนก่อน เปลี่ยนการหารเป็นการคูณส่วนกลับ แล้วจึงตัดตัวประกอบร่วม จากนั้นค่อยนำค่าที่ได้ไปใช้กับนิยามตัวดำเนินการ

EP18 : การย่อเศษส่วนพหุนามและตัวดำเนินการกำหนดใหม่

เส้นทางสู่เป้าหมาย

การย่อเศษส่วนพหุนามและตัวดำเนินการกำหนดใหม่

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

1. วิเคราะห์ปัญหา

2. สูตรและสมบัติที่จำเป็น

ผลต่างกำลังสอง

ผลต่างกำลังสาม

การหารเศษส่วน

ตัวดำเนินการกำหนดใหม่

3. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 แยกตัวประกอบเศษส่วนแรก

ขั้นที่ 2 แยกตัวประกอบเศษส่วนที่สอง

ขั้นที่ 3 เปลี่ยนการหารเป็นคูณส่วนกลับ

ขั้นที่ 4 หา 2k ⊕ 10

4. รูปแบบที่ควรจำ

5. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

6. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

7. สรุปก่อนจบบท

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?