ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP10
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP10 : ความชัน จุดกึ่งกลาง และวงกลม

เรียนรู้การแก้โจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์เกี่ยวกับจุดกึ่งกลาง ความชัน และสมบัติของวงกลม ผ่านโจทย์แข่งขัน พร้อมแบบฝึกและแนวข้อสอบประยุกต์

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP10 • Exam-Driven Mathematics

ความชัน จุดกึ่งกลาง และสมบัติวงกลม

โจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์มักเชื่อมโยงพิกัด ความชัน เส้นตั้งฉาก และสมบัติของวงกลมไว้ในข้อเดียวกัน

วิธีทำที่รวดเร็วคือ มองหาสมบัติทางเรขาคณิตก่อน แล้วจึงเลือกคำนวณเฉพาะค่าที่จำเป็น

เป้าหมาย

หาความชัน ใช้สมบัติเส้นตั้งฉาก และใช้ทฤษฎีมุมในครึ่งวงกลมแก้โจทย์ได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

ให้ A(1, −√5) และ B(5, √5) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

ให้ C(0, y) เป็นจุดหนึ่งบนวงกลม จงหาผลคูณของความชันของเส้นตรง AB, BC และ AC

  1. −√5/2
  2. −2√5
  3. 2√5
  4. 5√5
ลองคิดก่อนเรียน
  • จำเป็นต้องหาค่า y ของจุด C หรือไม่?
  • เมื่อ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มุม ACB เท่ากับเท่าใด?
  • ความชันของเส้นตั้งฉากมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

จุด A และ B เป็นปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง และจุด C อยู่บนวงกลม

ตามทฤษฎีมุมในครึ่งวงกลม มุมที่รองรับเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก

∠ACB = 90°

ดังนั้นเส้นตรง AC ตั้งฉากกับ BC

mAC × mBC = −1

โจทย์จึงไม่จำเป็นต้องให้เราหาความชันของ AC และ BC แยกกัน เหลือเพียงหาความชันของ AB

mAB × mBC × mAC = mAB(−1)
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • ความชันของเส้นตรง
  • ความสัมพันธ์ของเส้นตั้งฉาก
  • จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
  • จุดศูนย์กลางของวงกลม
  • ทฤษฎีมุมในครึ่งวงกลม
  • การเลือกใช้สมบัติเพื่อลดขั้นตอนคำนวณ
📖

3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น

3.1 ความชันของเส้นตรง

เส้นตรงผ่านจุด (x1, y1) และ (x2, y2) มีความชัน

m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1)
ระวังลำดับ

ถ้าเริ่มลบพิกัด y จากจุดใด ต้องลบพิกัด x ในลำดับเดียวกัน

3.2 เส้นตรงตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีความชัน m1 และ m2 และทั้งสองความชันนิยามได้

เส้นตั้งฉากกัน → m1m2 = −1

ดังนั้น ถ้าเส้นหนึ่งมีความชัน m เส้นที่ตั้งฉากจะมีความชัน

−1/m

3.3 จุดกึ่งกลาง

จุดกึ่งกลาง = ( (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 )

ถ้า A และ B เป็นปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง จุดกึ่งกลางของ AB คือจุดศูนย์กลางของวงกลม

3.4 มุมในครึ่งวงกลม

ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ C เป็นจุดใด ๆ บนวงกลม

∠ACB = 90°
AC ⟂ BC
mACmBC = −1
ทางลัดสำคัญ

เห็นคำว่า “ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง” และมีจุดอีกจุดอยู่บนวงกลม ให้นึกถึงมุมฉากทันที

🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 หาความชันของ AB

mAB = [√5 − (−√5)] ÷ (5 − 1)
= 2√5 ÷ 4
= √5/2

ขั้นที่ 2 ใช้สมบัติมุมในครึ่งวงกลม

เพราะ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ C อยู่บนวงกลม

∠ACB = 90°
AC ⟂ BC
mACmBC = −1

ขั้นที่ 3 หาผลคูณทั้งหมด

mAB mBC mAC
= (√5/2)(−1)
= −√5/2
ตอบ ข้อ 1 — −√5/2
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

จุดสองจุด → หาความชันด้วย Δy/Δx
เส้นตั้งฉาก → ผลคูณความชัน = −1
ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง + จุดบนวงกลม → มุมที่จุดบนวงกลมเป็น 90°
ปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง → จุดกึ่งกลางคือศูนย์กลางวงกลม
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • พยายามหาค่า y ของจุด C ทั้งที่ไม่จำเป็น
  • ใช้สูตรความชันสลับลำดับพิกัด
  • จำว่าเส้นตั้งฉากมีผลคูณความชันเป็น 1
  • ไม่สังเกตว่า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • คิดว่ามุมที่จุดศูนย์กลางเป็นมุมฉาก
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงหาความชันของเส้นตรง ที่ผ่านจุด (2, 3) และ (8, 9)

    ดูเฉลย
    m = (9 − 3)/(8 − 2) = 6/6 = 1

    ตอบ 1

  2. จงหาจุดกึ่งกลางของจุด (−2, 4) และ (6, 10)

    ดูเฉลย
    ( (−2 + 6)/2, (4 + 10)/2 )
    = (2, 7)

    ตอบ (2, 7)

  3. เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน 4 เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้มีความชันเท่าใด

    ดูเฉลย
    m2 = −1/4

    ตอบ −1/4

  4. AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ C เป็นจุดบนวงกลม มุม ACB มีขนาดเท่าใด

    ดูเฉลย

    มุมที่รองรับเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นมุมฉาก

    ∠ACB = 90°

    ตอบ 90°

  5. ถ้า mAB = 3 และ AC ตั้งฉากกับ BC จงหา mABmACmBC

    ดูเฉลย
    mACmBC = −1
    3(−1) = −3

    ตอบ −3

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 ให้ A(1, −√5) และ B(5, √5) เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง และ C เป็นจุดบนวงกลม ผลคูณความชันของ AB, BC และ AC เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
mAB = [√5 − (−√5)]/(5 − 1) = √5/2
mACmBC = −1
ผลคูณ = (√5/2)(−1) = −√5/2

ตอบ A. −√5/2

ข้อ 2 เส้นตรงผ่านจุด (−1, 2) และ (3, 10) มีความชันเท่าใด
ดูคำอธิบาย
m = (10 − 2)/(3 − (−1)) = 8/4 = 2

ตอบ C. 2

ข้อ 3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน −2/3 เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้มีความชันเท่าใด
ดูคำอธิบาย
m2 = −1 ÷ (−2/3) = 3/2

ตอบ D. 3/2

ข้อ 4 จุด A(−4, 2) และ B(6, 8) เป็นปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม จุดศูนย์กลางของวงกลมคือข้อใด
ดูคำอธิบาย
จุดกึ่งกลาง = ((−4 + 6)/2, (2 + 8)/2)
= (1, 5)

ตอบ B. (1, 5)

ข้อ 5 ให้ A และ B เป็นปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง และ C เป็นจุดบนวงกลม ถ้าความชันของ AB เท่ากับ −4 ผลคูณของความชัน AB, AC และ BC เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

เพราะ AC ตั้งฉากกับ BC

mACmBC = −1
ผลคูณทั้งหมด = (−4)(−1) = 4

ตอบ A. 4

📌

8. สรุปก่อนจบบท

m = Δy/Δx
เส้นตั้งฉาก → m1m2 = −1
จุดกึ่งกลาง = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ C อยู่บนวงกลม → ∠ACB = 90°
  • ฉันหาความชันจากจุดสองจุดได้
  • ฉันหาความชันของเส้นตั้งฉากได้
  • ฉันหาจุดกึ่งกลางได้
  • ฉันหาจุดศูนย์กลางจากปลายเส้นผ่านศูนย์กลางได้
  • ฉันใช้ทฤษฎีมุมในครึ่งวงกลมได้
  • ฉันเลือกใช้สมบัติเพื่อลดการคำนวณได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่ารีบตั้งสมการวงกลมหรือหาพิกัดทุกจุด ให้ตรวจสอบก่อนว่าโจทย์มีเส้นผ่านศูนย์กลาง มุมฉาก หรือเส้นตั้งฉากซ่อนอยู่หรือไม่ เพราะสมบัติเหล่านี้มักทำให้โจทย์สั้นลงมาก

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP9 · EP9 : ความน่าจะเป็น เหตุการณ์อิสระและการหยิบแบบไม่ใส่คืน ตอนถัดไป EP11 · EP11 : พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจากพิกัดและสมการเส้นตรง