ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP11
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP11 : พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจากพิกัดและสมการเส้นตรง

เรียนรู้การหาพิกัดจากเงื่อนไขระยะเท่ากัน การแก้ระบบสมการเส้นตรง และการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้วยสูตรเชือกรองเท้า พร้อมแบบฝึกเสริมและแนวข้อสอบประยุกต์

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP11 • Exam-Driven Mathematics

พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจากพิกัดและสมการเส้นตรง

โจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์อาจไม่ได้ให้พิกัดครบทุกจุด แต่กำหนดเงื่อนไขเรื่องระยะห่าง จุดตัดของเส้นตรง และตำแหน่งของจุดในจตุภาค

เราต้องหาพิกัดที่หายไปให้ครบ เรียงจุดตามขอบรูปอย่างถูกต้อง แล้วจึงคำนวณพื้นที่

เป้าหมาย

ใช้เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง แก้ระบบสมการ และใช้สูตรเชือกรองเท้าหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม โดยมีจุด

A(−2, 1) และ B(4, 1)

จุด C อยู่ในจตุภาคที่ 1 และอยู่ห่างจากจุด A และ B เท่ากัน จุดละ 5 หน่วย

จุด D เป็นจุดตัดของเส้นตรง

2x − y − 7 = 0
x + y + 1 = 0

รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่เท่าใด

  1. 18 ตารางหน่วย
  2. 24 ตารางหน่วย
  3. 30 ตารางหน่วย
  4. 48 ตารางหน่วย
ลองคิดก่อนเรียน
  • จุดที่อยู่ห่างจาก A และ B เท่ากันอยู่บนเส้นใด?
  • เหตุใดเงื่อนไขจตุภาคที่ 1 จึงสำคัญ?
  • จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?
  • ควรเรียงจุดอย่างไรก่อนใช้สูตรพื้นที่?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ให้พิกัด A และ B มาแล้ว แต่ยังไม่ให้พิกัด C และ D โดยตรง

เงื่อนไขระยะเท่ากัน → หาจุด C
จุดตัดของเส้นตรง → หาจุด D
ได้พิกัดครบ → เรียงจุดรอบรูป → หาพื้นที่

เนื่องจาก A และ B มีพิกัด y เท่ากัน เส้น AB จึงเป็นเส้นแนวนอน ทำให้เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งของ AB เป็นเส้นแนวตั้ง

🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด
  • จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
  • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง
  • จตุภาคของระบบพิกัด
  • การแก้ระบบสมการเชิงเส้น
  • การเรียงจุดรอบรูป
  • สูตรเชือกรองเท้าหาพื้นที่
📖

3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น

3.1 ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]

3.2 จุดกึ่งกลาง

M = ( (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 )

3.3 เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง

จุดทุกจุดที่อยู่บนเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งของ AB จะอยู่ห่างจาก A และ B เท่ากัน

CA = CB → C อยู่บนเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งของ AB

3.4 จตุภาค

จตุภาค เครื่องหมายของ x เครื่องหมายของ y
1 บวก บวก
2 ลบ บวก
3 ลบ ลบ
4 บวก ลบ

3.5 สูตรเชือกรองเท้า

ถ้าจุดยอดเรียงตามขอบรูปเป็น (x1, y1), (x2, y2), ...

พื้นที่ = 1/2 | ผลรวมแนวทแยงลง − ผลรวมแนวทแยงขึ้น |
เงื่อนไขสำคัญ

ต้องเรียงจุดตามขอบรูปตามเข็มนาฬิกา หรือทวนเข็มนาฬิกาก่อนใช้สูตร

🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 หาจุดกึ่งกลางของ AB

A(−2, 1), B(4, 1)
M = ((−2 + 4)/2, (1 + 1)/2)
M = (1, 1)

AB เป็นเส้นแนวนอน ดังนั้นเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งเป็นเส้นแนวตั้ง

x = 1

ขั้นที่ 2 หาพิกัด C

ให้

C = (1, y)

และ CA = 5

√[(1 − (−2))² + (y − 1)²] = 5
9 + (y − 1)² = 25
(y − 1)² = 16
y − 1 = 4 หรือ −4
y = 5 หรือ −3

จุด C อยู่ในจตุภาคที่ 1 จึงต้องมี y เป็นบวก

C = (1, 5)

ขั้นที่ 3 หาพิกัด D

จากเส้นตรงแรก

2x − y − 7 = 0
y = 2x − 7

แทนในสมการ

x + y + 1 = 0
x + (2x − 7) + 1 = 0
3x − 6 = 0
x = 2
y = 2(2) − 7 = −3
D = (2, −3)

ขั้นที่ 4 เรียงจุดรอบรูป

เรียงตามขอบรูปได้เป็น

A(−2, 1) → D(2, −3) → B(4, 1) → C(1, 5) → A

ขั้นที่ 5 ใช้สูตรเชือกรองเท้า

ผลรวมแนวทแยงลง = (−2)(−3) + (2)(1) + (4)(5) + (1)(1)
= 6 + 2 + 20 + 1 = 29
ผลรวมแนวทแยงขึ้น = (1)(2) + (−3)(4) + (1)(1) + (5)(−2)
= 2 − 12 + 1 − 10 = −19
พื้นที่ = 1/2 |29 − (−19)|
= 1/2(48) = 24
ตอบ ข้อ 2 — 24 ตารางหน่วย
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

ห่างจากสองจุดเท่ากัน → เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง
จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น → แก้ระบบสมการ
ต้องการพื้นที่จากพิกัด → เรียงจุดรอบรูป → ใช้สูตรเชือกรองเท้า
จตุภาคที่ 1 → x > 0 และ y > 0
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • เลือก C = (1, −3) ทั้งที่ไม่อยู่ในจตุภาคที่ 1
  • แก้ระบบสมการหาจุด D ผิดเครื่องหมาย
  • เรียงจุด A, B, C, D ตามชื่อโดยไม่ดูตำแหน่งจริง
  • ลืมเขียนจุดแรกซ้ำท้ายตารางเชือกรองเท้า
  • ลืมหาร 2 ในขั้นตอนสุดท้าย
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงหาจุดกึ่งกลางของ A(−4, 2) และ B(6, 8)

    ดูเฉลย
    M = ((−4 + 6)/2, (2 + 8)/2) = (1, 5)

    ตอบ (1, 5)

  2. จุด P อยู่ห่างจาก A(−2, 0) และ B(4, 0) เท่ากัน ถ้า P = (x, y) ค่า x เท่ากับเท่าใด

    ดูเฉลย

    จุดกึ่งกลางของ AB คือ

    ((−2 + 4)/2, 0) = (1, 0)

    เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งเป็น x = 1

    ตอบ x = 1

  3. จงหาจุดตัดของเส้นตรง x + y = 7 และ x − y = 1

    ดูเฉลย

    บวกสมการทั้งสอง

    2x = 8 → x = 4
    y = 3

    ตอบ (4, 3)

  4. สามเหลี่ยมมีจุดยอด (0, 0), (6, 0) และ (0, 4) มีพื้นที่เท่าใด

    ดูเฉลย

    เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ฐาน 6 และสูง 4

    พื้นที่ = 1/2 × 6 × 4 = 12

    ตอบ 12 ตารางหน่วย

  5. รูปสี่เหลี่ยมมีจุดยอดเรียงรอบรูปเป็น (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3) มีพื้นที่เท่าใด

    ดูเฉลย

    เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 4 และสูง 3

    พื้นที่ = 4 × 3 = 12

    ตอบ 12 ตารางหน่วย

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 กำหนด A(−2, 1), B(4, 1) จุด C อยู่ในจตุภาคที่ 1 และห่างจาก A และ B จุดละ 5 หน่วย ส่วน D เป็นจุดตัดของ 2x − y − 7 = 0 และ x + y + 1 = 0 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย

ได้ C = (1, 5) และ D = (2, −3) เรียงรอบรูปเป็น A, D, B, C

พื้นที่ = 1/2 |29 − (−19)| = 24

ตอบ B. 24 ตารางหน่วย

ข้อ 2 จุด P อยู่ห่างจาก A(0, 2) และ B(6, 2) เท่ากัน เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งของ AB มีสมการใด
ดูคำอธิบาย

จุดกึ่งกลางของ AB คือ (3, 2) และ AB เป็นเส้นแนวนอน

เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งคือ x = 3

ตอบ C. x = 3

ข้อ 3 จุดตัดของเส้นตรง 2x + y = 8 และ x − y = 1 คือจุดใด
ดูคำอธิบาย

บวกสมการทั้งสอง

3x = 9 → x = 3
y = 2

ตอบ A. (3, 2)

ข้อ 4 สามเหลี่ยมมีจุดยอด (−2, 0), (4, 0) และ (1, 6) มีพื้นที่เท่าใด
ดูคำอธิบาย

ฐานจาก x = −2 ถึง x = 4 ยาว 6 หน่วย และความสูงเท่ากับ 6 หน่วย

พื้นที่ = 1/2 × 6 × 6 = 18

ตอบ D. 18 ตารางหน่วย

ข้อ 5 รูปสี่เหลี่ยมมีจุดยอดเรียงรอบรูปเป็น (0, 0), (6, 0), (5, 4), (1, 4) มีพื้นที่เท่าใด
ดูคำอธิบาย

รูปนี้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานคู่ขนานยาว 6 และ 4 สูง 4

พื้นที่ = 1/2(6 + 4)(4) = 20

ตอบ B. 20 ตารางหน่วย

📌

8. สรุปก่อนจบบท

ห่างจาก A และ B เท่ากัน → เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง AB
จุดตัดของเส้นตรง → แก้ระบบสมการ
พื้นที่จากพิกัด → เรียงจุดรอบรูป → สูตรเชือกรองเท้า
พื้นที่ = 1/2 | ผลรวมทแยงลง − ผลรวมทแยงขึ้น |
  • ฉันหาจุดกึ่งกลางได้
  • ฉันหาเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งได้
  • ฉันใช้เงื่อนไขจตุภาคเลือกพิกัดได้
  • ฉันหาจุดตัดของเส้นตรงได้
  • ฉันเรียงจุดตามขอบรูปได้
  • ฉันใช้สูตรเชือกรองเท้าหาพื้นที่ได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่ารีบใช้สูตรพื้นที่ทันที ให้หาพิกัดทุกจุดให้ครบ วางตำแหน่งโดยประมาณ และเรียงจุดตามขอบรูปก่อน เพราะการเรียงจุดผิดจะทำให้พื้นที่ผิดทันที

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP10 · EP10 : ความชัน จุดกึ่งกลาง และวงกลม ตอนถัดไป EP12 · EP12 : วงรีและไฮเพอร์โบลาจากสมการภาคตัดกรวย