ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP12
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP12 : วงรีและไฮเพอร์โบลาจากสมการภาคตัดกรวย

เรียนรู้การแปลงสมการวงรีเป็นรูปมาตรฐาน หาจุดศูนย์กลาง แกนเอกและแกนโท แล้วนำข้อมูลไปสร้างสมการไฮเพอร์โบลา พร้อมแบบฝึกเสริมและแนวข้อสอบประยุกต์

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP12 • Exam-Driven Mathematics

วงรีและไฮเพอร์โบลาจากสมการภาคตัดกรวย

โจทย์ภาคตัดกรวยระดับแข่งขันมักเชื่อมโยงรูปสองชนิดเข้าด้วยกัน เช่น ให้สมการวงรีเพื่อหาจุดศูนย์กลางและความยาวแกน แล้วนำข้อมูลไปสร้างสมการไฮเพอร์โบลา

เป้าหมาย

เปลี่ยนสมการวงรีเป็นรูปมาตรฐาน อ่านจุดศูนย์กลางและความยาวแกน แล้วเขียนสมการไฮเพอร์โบลาจากเงื่อนไขที่กำหนดได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดสมการวงรี A คือ

16x2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรี A มีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (−1, 4) และมีความยาวแกนสังยุค เท่ากับความยาวแกนโทของวงรี A

  1. y² − 4x² − 8x − 4y − 16 = 0
  2. x² − 4y² − 8x − 4y − 20 = 0
  3. 4x² − y² − 16x − 2y + 1 = 0
  4. 4y² − x² − 2x − 16y − 1 = 0
ลองคิดก่อนเรียน
  • วงรีมีจุดศูนย์กลางที่ใด?
  • แกนเอกและแกนโทยาวเท่าใด?
  • จุดยอด (−1, 4) บอกทิศทางของไฮเพอร์โบลาอย่างไร?
  • ความยาวแกนสังยุคเท่ากับ 2b หรือ b?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ไม่ได้ให้ค่าของไฮเพอร์โบลามาโดยตรง แต่ซ่อนข้อมูลไว้ในสมการวงรี

สมการวงรี → ทำกำลังสองสมบูรณ์ → หาศูนย์กลางและแกนโท → ใช้เป็นข้อมูลของไฮเพอร์โบลา

จากนั้นใช้จุดยอดของไฮเพอร์โบลา เพื่อหาทิศทางและค่า a และใช้ความยาวแกนสังยุคเพื่อหาค่า b

ศูนย์กลาง + จุดยอด + แกนสังยุค → สมการไฮเพอร์โบลา
🧭

2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้

  • การทำกำลังสองสมบูรณ์
  • สมการมาตรฐานของวงรี
  • จุดศูนย์กลางของวงรี
  • แกนเอกและแกนโทของวงรี
  • สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา
  • จุดยอดและทิศทางการเปิด
  • แกนตามขวางและแกนสังยุค
  • การกระจายสมการกลับเป็นรูปทั่วไป
📖

3. สูตรและสมบัติที่จำเป็น

3.1 การทำกำลังสองสมบูรณ์

x² + 2ax = (x + a)² − a²
x² − 2ax = (x − a)² − a²

3.2 วงรีแกนเอกแนวนอน

(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1

เมื่อ a > b

  • จุดศูนย์กลาง คือ (h, k)
  • ความยาวแกนเอก คือ 2a
  • ความยาวแกนโท คือ 2b

3.3 ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางแนวนอน

(x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1

จุดยอดคือ (h ± a, k)

3.4 ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางแนวตั้ง

(y − k)²/a² − (x − h)²/b² = 1

จุดยอดคือ (h, k ± a)

3.5 ความยาวแกนของไฮเพอร์โบลา

ความยาวแกนตามขวาง = 2a
ความยาวแกนสังยุค = 2b
ระวัง

ถ้าโจทย์บอกความยาวแกนสังยุคเท่ากับ 8 ต้องได้ 2b = 8 จึงมี b = 4 ไม่ใช่ b = 8

🧩

4. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 จัดกลุ่มสมการวงรี

16x² + 25y² + 32x − 100y − 284 = 0
16(x² + 2x) + 25(y² − 4y) = 284

ขั้นที่ 2 ทำกำลังสองสมบูรณ์

x² + 2x = (x + 1)² − 1
y² − 4y = (y − 2)² − 4

แทนกลับในสมการ

16[(x + 1)² − 1] + 25[(y − 2)² − 4] = 284
16(x + 1)² + 25(y − 2)² = 400

หารทั้งสมการด้วย 400

(x + 1)²/25 + (y − 2)²/16 = 1

ขั้นที่ 3 อ่านข้อมูลของวงรี

จุดศูนย์กลาง = (−1, 2)
a² = 25 → a = 5
b² = 16 → b = 4
ความยาวแกนเอก = 2a = 10
ความยาวแกนโท = 2b = 8

ขั้นที่ 4 ใช้จุดยอดของไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลามีศูนย์กลาง (−1, 2) และมีจุดยอดจุดหนึ่งคือ (−1, 4)

จุดศูนย์กลางและจุดยอดมีพิกัด x เท่ากัน แสดงว่าแกนตามขวางเป็นแนวตั้ง

a = |4 − 2| = 2
a² = 4

ขั้นที่ 5 หา b จากแกนสังยุค

ความยาวแกนสังยุคของไฮเพอร์โบลา เท่ากับความยาวแกนโทของวงรี

2b = 8
b = 4
b² = 16

ขั้นที่ 6 เขียนสมการไฮเพอร์โบลา

เป็นไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง ศูนย์กลาง (−1, 2)

(y − 2)²/4 − (x + 1)²/16 = 1

ขั้นที่ 7 เปลี่ยนเป็นรูปทั่วไป

คูณทั้งสมการด้วย 16

4(y − 2)² − (x + 1)² = 16

กระจายกำลังสอง

4(y² − 4y + 4) − (x² + 2x + 1) = 16
4y² − 16y + 16 − x² − 2x − 1 = 16
4y² − x² − 2x − 16y − 1 = 0
ตอบ ข้อ 4 — 4y² − x² − 2x − 16y − 1 = 0
⚡

5. รูปแบบที่ควรจำ

สมการภาคตัดกรวยรูปทั่วไป → จัดกลุ่ม → ทำกำลังสองสมบูรณ์
ตัวส่วนใหญ่กว่าใต้ x → วงรีแกนเอกแนวนอน
ไฮเพอร์โบลาพจน์ y เป็นบวก → เปิดขึ้นและลง
ไฮเพอร์โบลาพจน์ x เป็นบวก → เปิดซ้ายและขวา
จุดยอด − จุดศูนย์กลาง → หา a
ความยาวแกนสังยุค → 2b
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • อ่านศูนย์กลางจาก (x + 1)² เป็น (1, 2)
  • สับสนระหว่างกึ่งแกน b กับความยาวแกน 2b
  • เลือกสมการไฮเพอร์โบลาแนวนอน ทั้งที่จุดยอดอยู่เหนือศูนย์กลาง
  • วาง a² และ b² สลับตำแหน่ง
  • กระจายเครื่องหมายลบหน้า (x + 1)² ผิด
✏️

6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงหาจุดศูนย์กลางของวงรี

    (x − 3)²/16 + (y + 2)²/9 = 1
    ดูเฉลย

    เทียบกับรูปมาตรฐาน (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1

    h = 3, k = −2

    ตอบ (3, −2)

  2. วงรี (x + 1)²/25 + (y − 4)²/9 = 1 มีความยาวแกนโทเท่าใด

    ดูเฉลย
    b² = 9 → b = 3
    ความยาวแกนโท = 2b = 6

    ตอบ 6 หน่วย

  3. ไฮเพอร์โบลามีศูนย์กลาง (2, −1) และมีจุดยอด (2, 3) จงหาค่า a

    ดูเฉลย
    a = |3 − (−1)| = 4

    ตอบ 4

  4. ไฮเพอร์โบลามีความยาวแกนสังยุค 10 หน่วย จงหาค่า b²

    ดูเฉลย
    2b = 10 → b = 5
    b² = 25

    ตอบ 25

  5. จงบอกทิศทางการเปิดของไฮเพอร์โบลา

    (y + 1)²/9 − (x − 2)²/16 = 1
    ดูเฉลย

    พจน์ y² เป็นพจน์บวก จึงเป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางแนวตั้ง

    ตอบ เปิดขึ้นและลง

🎓

7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 จากวงรี 16x² + 25y² + 32x − 100y − 284 = 0 สร้างไฮเพอร์โบลาตามเงื่อนไขในโจทย์นำ สมการที่ถูกต้องคือข้อใด
ดูคำอธิบาย
วงรี: (x + 1)²/25 + (y − 2)²/16 = 1
ไฮเพอร์โบลา: (y − 2)²/4 − (x + 1)²/16 = 1
4y² − x² − 2x − 16y − 1 = 0

ตอบ D

ข้อ 2 วงรี (x − 2)²/36 + (y + 1)²/16 = 1 มีความยาวแกนโทเท่าใด
ดูคำอธิบาย
b² = 16 → b = 4
แกนโท = 2b = 8

ตอบ B. 8

ข้อ 3 ไฮเพอร์โบลา (x + 3)²/9 − (y − 1)²/25 = 1 มีจุดยอดข้อใด
ดูคำอธิบาย

ศูนย์กลางคือ (−3, 1) และ a = 3 โดยพจน์ x เป็นบวก

จุดยอด = (−3 ± 3, 1)
= (0, 1) และ (−6, 1)

ตอบ C

ข้อ 4 ไฮเพอร์โบลามีศูนย์กลาง (1, 2) จุดยอดหนึ่งคือ (1, 5) และแกนสังยุคยาว 8 หน่วย สมการมาตรฐานคือข้อใด
ดูคำอธิบาย
a = |5 − 2| = 3 → a² = 9
2b = 8 → b = 4 → b² = 16

จุดยอดอยู่เหนือศูนย์กลาง จึงเป็นแนวตั้ง

ตอบ A

ข้อ 5 วงรี 9x² + 16y² − 54x + 64y + 1 = 0 มีจุดศูนย์กลางที่ใด
ดูคำอธิบาย
9(x² − 6x) + 16(y² + 4y) = −1

จาก x² − 6x ได้ (x − 3)² และจาก y² + 4y ได้ (y + 2)²

ศูนย์กลาง = (3, −2)

ตอบ D

📌

8. สรุปก่อนจบบท

สมการทั่วไป → ทำกำลังสองสมบูรณ์ → รูปมาตรฐาน
วงรี: แกนเอก = 2a, แกนโท = 2b
ไฮเพอร์โบลา: แกนตามขวาง = 2a, แกนสังยุค = 2b
พจน์บวกเป็น y → ไฮเพอร์โบลาแนวตั้ง
พจน์บวกเป็น x → ไฮเพอร์โบลาแนวนอน
  • ฉันทำกำลังสองสมบูรณ์ได้
  • ฉันอ่านจุดศูนย์กลางของวงรีได้
  • ฉันหาแกนเอกและแกนโทได้
  • ฉันใช้จุดยอดหา a ของไฮเพอร์โบลาได้
  • ฉันใช้ความยาวแกนสังยุคหา b ได้
  • ฉันเลือกทิศทางของไฮเพอร์โบลาได้
  • ฉันเปลี่ยนสมการมาตรฐานเป็นรูปทั่วไปได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

อย่ารีบเลือกสมการจากตัวเลือก ให้เปลี่ยนสมการวงรีเป็นรูปมาตรฐานก่อน อ่านศูนย์กลางและความยาวแกน แล้วใช้ตำแหน่งของจุดยอดกำหนดทิศทาง และค่าของไฮเพอร์โบลาทีละขั้น

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP11 · EP11 : พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจากพิกัดและสมการเส้นตรง ตอนถัดไป EP13 · EP13 : โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์