โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
โจทย์ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มักถามโดเมน เรนจ์ จุดยอด หรือค่ามากที่สุด–น้อยที่สุดของฟังก์ชัน
วิธีทำที่รวดเร็วคือ อ่านสมการให้อยู่ในรูป y = a|x − h| + k แล้วพิจารณาจุดยอดและเครื่องหมายของ a
อ่านจุดยอด ตรวจทิศทางของกราฟ และเขียนโดเมนกับเรนจ์เป็นช่วงได้อย่างถูกต้อง
ปัญหานำจากแนวข้อสอบ
กำหนดให้
เรนจ์ของฟังก์ชัน f ตรงกับข้อใด
- [5, ∞)
- (−∞, 5]
- (5, ∞)
- (−∞, 5)
- |x − 2| มีค่าต่ำที่สุดเท่าใด?
- ค่า y ต่ำที่สุดเกิดเมื่อ x เท่ากับเท่าใด?
- ค่า 5 ต้องรวมอยู่ในเรนจ์หรือไม่?
1. วิเคราะห์ปัญหา
สมบัติสำคัญของค่าสัมบูรณ์คือ ค่าภายในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนใดก็ได้ แต่ผลลัพธ์ของค่าสัมบูรณ์ต้องไม่ติดลบ
ดังนั้น
ค่า y จึงมีค่าต่ำที่สุดเท่ากับ 5 และสามารถเพิ่มขึ้นได้ไม่จำกัด
2. กรอบเนื้อหาที่ต้องใช้
- ความหมายของค่าสัมบูรณ์
- โดเมนและเรนจ์
- รูปมาตรฐานของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
- จุดยอดของกราฟ
- ทิศทางการเปิดของกราฟ
- ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
- การเขียนช่วงด้วยวงเล็บและวงเล็บเหลี่ยม
3. นิยาม สมบัติ และสูตรที่จำเป็น
3.1 ค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์หมายถึงระยะห่างจากศูนย์ จึงมีค่าเป็นศูนย์หรือจำนวนบวก
3.2 โดเมนและเรนจ์
- โดเมน คือค่าของ x ที่สามารถแทนในฟังก์ชันได้
- เรนจ์ คือค่าของ y ที่เกิดขึ้นจากฟังก์ชัน
สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ทั่วไป
ค่า x เป็นจำนวนจริงใดก็ได้ จึงมีโดเมนเป็น
3.3 จุดยอด
เพราะ |x − h| มีค่าต่ำที่สุดเท่ากับ 0 เมื่อ x = h
3.4 ทิศทางและเรนจ์
| เงื่อนไข | ทิศทางกราฟ | เรนจ์ |
|---|---|---|
| a > 0 | เปิดขึ้น | [k, ∞) |
| a < 0 | เปิดลง | (−∞, k] |
y = |x + 3| − 2 ต้องเขียนเป็น y = |x − (−3)| − 2 ดังนั้นจุดยอดคือ (−3, −2)
3.5 การเขียนช่วง
- ใช้ [ ] เมื่อรวมค่าปลายช่วง
- ใช้ ( ) เมื่อไม่รวมค่าปลายช่วง
- ที่เครื่องหมาย ∞ และ −∞ ต้องใช้วงเล็บเสมอ
4. กลับมาแก้ปัญหานำ
จากฟังก์ชัน
ขั้นที่ 1 อ่านจุดยอด
ขั้นที่ 2 พิจารณาทิศทาง
สัมประสิทธิ์หน้าค่าสัมบูรณ์คือ
เนื่องจาก a > 0 กราฟจึงเปิดขึ้น และจุดยอดให้ค่า y ต่ำที่สุด
ขั้นที่ 3 หาค่าต่ำสุด
ค่า y = 5 เกิดขึ้นจริงเมื่อ x = 2 จึงต้องรวม 5 อยู่ในเรนจ์
5. รูปแบบที่ควรจำ
- อ่านจุดยอดของ |x + 3| เป็น x = 3
- เขียนเรนจ์เป็น (5, ∞) ทั้งที่ค่า 5 เกิดขึ้นจริง
- ใช้วงเล็บเหลี่ยมกับเครื่องหมาย ∞
- สับสนระหว่างโดเมนกับเรนจ์
- ไม่ตรวจเครื่องหมายหน้าค่าสัมบูรณ์
6. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ
-
จงหาค่าต่ำสุดของ
y = |x − 4| + 2ดูเฉลย
|x − 4| ≥ 0y ≥ 2ตอบ ค่าต่ำสุดคือ 2
-
จงหาจุดยอดของ
y = 3|x + 2| − 5ดูเฉลย
x + 2 = x − (−2)จุดยอด = (−2, −5)ตอบ (−2, −5)
-
จงหาเรนจ์ของ
y = 2|x − 1| − 3ดูเฉลย
a = 2 > 0 กราฟเปิดขึ้น และจุดยอดมีค่า y = −3
เรนจ์ = [−3, ∞)ตอบ [−3, ∞)
-
จงหาเรนจ์ของ
y = −|x + 4| + 6ดูเฉลย
a = −1 < 0 กราฟเปิดลง และมีค่าสูงสุดเท่ากับ 6
เรนจ์ = (−∞, 6]ตอบ (−∞, 6]
-
จงหาโดเมนของ
y = 5|x − 7| + 1ดูเฉลย
ค่า x เป็นจำนวนจริงใดก็ได้
โดเมน = (−∞, ∞)ตอบ (−∞, ∞)
7. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ
8. สรุปก่อนจบบท
- ฉันอธิบายความหมายของค่าสัมบูรณ์ได้
- ฉันแยกโดเมนและเรนจ์ได้
- ฉันอ่านจุดยอดจากสมการได้
- ฉันตรวจทิศทางของกราฟได้
- ฉันหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดได้
- ฉันเขียนเรนจ์ด้วยสัญกรณ์ช่วงได้
เมื่อเห็นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ให้จัดให้อยู่ในรูป y = a|x − h| + k แล้วอ่านจุดยอดและเครื่องหมายของ a เพียงเท่านี้ก็สามารถหาเรนจ์ได้ทันที