ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
ความก้าวหน้าหัวข้อนี้0/31 ตอน
EP17
ปรับพื้นฐาน · พีชคณิต

EP17 : ทฤษฎีเศษเหลือและการหารพหุนาม

เรียนรู้การหาเศษจากการหารพหุนามด้วยทฤษฎีเศษเหลือ เชื่อมโยงเศษหลายสมการ และแทนค่าหาคำตอบอย่างรวดเร็ว พร้อมแบบฝึกเสริมและแนวข้อสอบประยุกต์

7 นาที ปานกลาง เรียนทีละทักษะ
ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว0/0 EP
เหลือ0 EP
ผ่านครบวิชา0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด0%
ล่าสุด–
ทำแล้ว0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP17 • Exam-Driven Mathematics

ทฤษฎีเศษเหลือและการหารพหุนาม

โจทย์การหารพหุนามบางข้อไม่จำเป็นต้องตั้งหารยาว เพราะถ้าตัวหารอยู่ในรูป x − a เราสามารถหาเศษได้ทันทีด้วยการแทน x = a

เป้าหมาย

ใช้ทฤษฎีเศษเหลือ หาเศษจากตัวหาร x − a และเชื่อมโยงเศษหลายค่าเพื่อแก้โจทย์ประยุกต์ได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

กำหนดให้ A แทนเศษที่เกิดจากการหารพหุนาม

2x4 − 5x2 + 6x + 14

ด้วย x − 1

B แทนเศษที่เกิดจากการหารพหุนาม

5x3 + 7x2 − 8x + 17

ด้วย x + 2 และกำหนดให้

C = B − A

เศษที่เกิดจากการหาร

x3 + 4x2 − x − 3

ด้วย x − C มีค่าเท่าใด

  1. 112
  2. 121
  3. 132
  4. 140
ลองคิดก่อน
  • หารด้วย x − 1 ต้องแทน x เท่าใด?
  • x + 2 เขียนเป็น x − a ได้อย่างไร?
  • เมื่อหา C ได้แล้ว ต้องนำ C ไปใช้ตรงไหน?
🔍

1. วิเคราะห์ปัญหา

โจทย์ต้องการเศษจากการหารพหุนาม 3 ครั้ง แต่ทุกตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งในรูป x − a

หา A → หา B → คำนวณ C = B − A → หาเศษจาก x − C

จึงไม่จำเป็นต้องตั้งหารสังเคราะห์ทุกครั้ง แต่ใช้การแทนค่าตามทฤษฎีเศษเหลือได้ทันที

🧭

2. สูตรและหลักคิดที่จำเป็น

ทฤษฎีเศษเหลือ

ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วย x − a เศษจากการหารจะเท่ากับ

เศษ = P(a)

กรณีตัวหาร x + a

x + a = x − (−a)

จึงต้องแทน

x = −a

ทฤษฎีตัวประกอบ

P(a) = 0 ↔ x − a เป็นตัวประกอบของ P(x)
ระวังเครื่องหมาย
  • หารด้วย x − 3 ให้แทน x = 3
  • หารด้วย x + 3 ให้แทน x = −3
🧩

3. กลับมาแก้ปัญหานำ

ขั้นที่ 1 หา A

ให้

P(x) = 2x4 − 5x2 + 6x + 14

หารด้วย x − 1 จึงแทน x = 1

A = P(1)
A = 2(1)4 − 5(1)2 + 6(1) + 14
A = 2 − 5 + 6 + 14 = 17

ขั้นที่ 2 หา B

ให้

Q(x) = 5x3 + 7x2 − 8x + 17

ตัวหาร x + 2 เขียนเป็น x − (−2) จึงแทน x = −2

B = Q(−2)
B = 5(−2)3 + 7(−2)2 − 8(−2) + 17
B = −40 + 28 + 16 + 17 = 21

ขั้นที่ 3 หา C

C = B − A
C = 21 − 17 = 4

ขั้นที่ 4 หาเศษสุดท้าย

ให้

R(x) = x3 + 4x2 − x − 3

หารด้วย x − C = x − 4 จึงแทน x = 4

เศษ = R(4)
= 43 + 4(42) − 4 − 3
= 64 + 64 − 4 − 3
= 121
ตอบ ข้อ 2 — 121
⚡

4. รูปแบบที่ควรจำ

หารด้วย x − a → แทน x = a
หารด้วย x + a → แทน x = −a
P(a) = 0 → x − a เป็นตัวประกอบ
โจทย์เชื่อมหลายเศษ → หาแต่ละเศษตามลำดับ → คำนวณค่าตัวแปร → แทนในพหุนามสุดท้าย
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • หารด้วย x + 2 แต่แทน x = 2
  • ลืมยกกำลังจำนวนลบทั้งวงเล็บ
  • คิดว่า (−2)² = −4
  • คำนวณ C เป็น A − B แทน B − A
  • ตั้งหารยาวทั้งที่ใช้ทฤษฎีเศษเหลือได้ทันที
✏️

5. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. เศษจากการหาร P(x) = x² + 3x + 5 ด้วย x − 2 เท่ากับเท่าใด

    ดูเฉลย
    P(2) = 2² + 3(2) + 5
    = 4 + 6 + 5 = 15

    ตอบ 15

  2. เศษจากการหาร P(x) = 2x³ − x + 4 ด้วย x + 1 เท่ากับเท่าใด

    ดูเฉลย
    P(−1) = 2(−1)³ − (−1) + 4
    = −2 + 1 + 4 = 3

    ตอบ 3

  3. ถ้า P(3) = 0 ข้อใดเป็นตัวประกอบของ P(x)

    ดูเฉลย
    P(3) = 0 → x − 3 เป็นตัวประกอบ

    ตอบ x − 3

  4. เศษจากการหาร P(x) = x³ − 4x + 7 ด้วย x เท่ากับเท่าใด

    ดูเฉลย

    x เขียนเป็น x − 0 จึงแทน x = 0

    P(0) = 7

    ตอบ 7

  5. ถ้าเศษจากการหาร x² + kx + 6 ด้วย x − 2 เท่ากับ 12 จงหาค่า k

    ดูเฉลย
    P(2) = 12
    2² + 2k + 6 = 12
    10 + 2k = 12 → k = 1

    ตอบ 1

🎓

6. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5
ข้อ 1 จากโจทย์นำ ค่าเศษสุดท้ายเท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
A = P(1) = 17
B = Q(−2) = 21
C = 21 − 17 = 4
R(4) = 64 + 64 − 4 − 3 = 121

ตอบ B. 121

ข้อ 2 เศษจากการหาร 3x³ − 2x² + 5x − 1 ด้วย x − 2 เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
P(2) = 3(8) − 2(4) + 5(2) − 1
= 24 − 8 + 10 − 1 = 25

ตอบ C. 25

ข้อ 3 เศษจากการหาร 2x⁴ + 3x² − 5 ด้วย x + 1 เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
P(−1) = 2(−1)⁴ + 3(−1)² − 5
= 2 + 3 − 5 = 0

ตอบ A. 0

ข้อ 4 ถ้า x − 3 เป็นตัวประกอบของ P(x) = x³ + kx − 30 ค่า k เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
P(3) = 0
3³ + 3k − 30 = 0
27 + 3k − 30 = 0
3k = 3 → k = 1

ตอบ D. 1

ข้อ 5 ถ้าเศษจากการหาร x³ − 2x² + ax + 5 ด้วย x − 1 เท่ากับ 8 ค่า a เท่ากับเท่าใด
ดูคำอธิบาย
P(1) = 8
1 − 2 + a + 5 = 8
a + 4 = 8 → a = 4

ตอบ B. 4

📌

7. สรุปก่อนจบบท

หาร P(x) ด้วย x − a → เศษ = P(a)
หาร P(x) ด้วย x + a → เศษ = P(−a)
P(a) = 0 → x − a เป็นตัวประกอบ
  • ฉันเปลี่ยนตัวหารให้อยู่ในรูป x − a ได้
  • ฉันหาเศษด้วยการแทนค่าได้
  • ฉันแทนจำนวนลบและยกกำลังได้ถูกต้อง
  • ฉันใช้ทฤษฎีตัวประกอบได้
  • ฉันแก้โจทย์ที่เชื่อมโยงเศษหลายค่าได้
แนวคิดสำคัญที่สุด

เมื่อเห็นตัวหารเป็น x − a อย่ารีบตั้งหารพหุนาม ให้แทน x = a ลงในพหุนามก่อน เพราะค่าที่ได้คือเศษจากการหารทันที

พร้อมไปตอนถัดไปหรือยัง?

เข้าสู่ระบบหลักเพื่อบันทึกความก้าวหน้าได้ถาวร

ตอนก่อนหน้าEP16 · EP16 : กำไร ต้นทุน และอสมการจากโจทย์ปัญหา ตอนถัดไป EP18 · EP18 : การย่อเศษส่วนพหุนามและตัวดำเนินการกำหนดใหม่