EP20 การหารลงตัว ค.ร.น. และเลขยกกำลัง–กรณฑ์

🎯

EP20 • Exam-Driven Mathematics

การหารลงตัว ค.ร.น. เลขยกกำลัง และกรณฑ์

ฝึกใช้ ค.ร.น. เพื่อหาจำนวนที่หารด้วยหลายจำนวนลงตัว พร้อมทบทวนการจัดรูปเลขยกกำลังและกรณฑ์ซ้อน จากแนวข้อสอบจริง

เป้าหมาย

หา ค.ร.น. ของหลายจำนวนได้ นับจำนวนพหุคูณในช่วงที่กำหนด และตรวจสอบความถูกต้องของสมการเลขยกกำลังและกรณฑ์ได้

❓

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

โจทย์ที่ 1

จงหาจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง 2,000 และ 4,000 ซึ่งหารด้วย 12, 15 และ 18 ลงตัว

10 จำนวน
11 จำนวน
12 จำนวน
13 จำนวน

โจทย์ที่ 2

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. (2⁴ⁿ⁺² + 2⁴ⁿ⁻⁴) ÷ [(2ⁿ)² × 2⁻²ⁿ⁻⁴ × 2⁴ⁿ] = 65

ข. ⁶√(³√4,096) × ³√(√625) = ³√10

ข้อใดถูกต้อง

ข้อ ก. ถูกต้อง
ข้อ ข. ถูกต้อง
ถูกทั้งข้อ ก. และข้อ ข.
ไม่มีข้อใดถูก

ลองคิดก่อน

คำว่า “หารลงตัวพร้อมกัน” ควรใช้ ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น.?
จำนวนแรกที่มากกว่า 2,000 และหารด้วย ค.ร.น. ลงตัวคือจำนวนใด?
เลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันควรจัดรูปอย่างไร?
กรณฑ์ซ้อนสามารถเปลี่ยนเป็นเลขยกกำลังเศษส่วนได้หรือไม่?

🧭

1. การหารลงตัวพร้อมกันและ ค.ร.น.

จำนวนที่หารด้วยหลายจำนวนลงตัวพร้อมกัน ต้องเป็นพหุคูณของ ค.ร.น. ของจำนวนนั้น

จำนวนที่หารด้วย a, b และ c ลงตัว = พหุคูณของ ค.ร.น.(a, b, c)

ตัวอย่าง

12 = 2² × 3

15 = 3 × 5

18 = 2 × 3²

เลือกเลขชี้กำลังสูงสุดของจำนวนเฉพาะแต่ละตัว

ค.ร.น.(12,15,18) = 2² × 3² × 5 = 180

จำง่าย

“หารลงตัวพร้อมกัน” ให้นึกถึง ค.ร.น. เพราะเรากำลังหาพหุคูณร่วมของหลายจำนวน

🔢

2. การนับพหุคูณในช่วงที่กำหนด

เมื่อทราบว่าแต่ละจำนวนห่างกัน 180 ให้หาพหุคูณตัวแรกและตัวสุดท้ายในช่วง

พหุคูณตัวแรกที่มากกว่า 2,000

180 × 11 = 1,980

180 × 12 = 2,160

ดังนั้นพหุคูณตัวแรกคือ 2,160 ซึ่งตรงกับลำดับที่ 12

พหุคูณตัวสุดท้ายที่น้อยกว่า 4,000

180 × 22 = 3,960

180 × 23 = 4,140

ดังนั้นพหุคูณตัวสุดท้ายคือ 3,960 ซึ่งตรงกับลำดับที่ 22

นับจำนวนทั้งหมด

จำนวนทั้งหมด = 22 − 12 + 1 = 11

เหตุผลที่ต้องบวก 1

เพราะเรานับรวมทั้งลำดับที่ 12 และลำดับที่ 22 เช่น จาก 3 ถึง 5 มี 3 จำนวน คือ 3, 4 และ 5

🧩

3. กลับมาแก้โจทย์ที่ 1

ค.ร.น.(12,15,18) = 180

จำนวนที่ต้องการจึงอยู่ในรูป

180k

โดยค่า k เริ่มตั้งแต่ 12 ถึง 22

k = 12, 13, 14, ..., 22

จำนวนค่า k = 22 − 12 + 1 = 11

ตอบ ข้อ 2

มีจำนวนเต็มทั้งหมด 11 จำนวน ที่อยู่ระหว่าง 2,000 และ 4,000 และหารด้วย 12, 15 และ 18 ลงตัว

⚙️

4. กฎเลขยกกำลังที่ต้องใช้

a^m × aⁿ = a^m+n

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^mn

a^m + aⁿ ไม่สามารถนำเลขชี้กำลังมาบวกกันโดยตรง

เมื่อตัวเลขยกกำลังถูกนำมาบวกกัน ต้องดึงตัวประกอบร่วมออกก่อน

ตัวอย่าง

2⁴ⁿ⁺² + 2⁴ⁿ⁻⁴

ดึง 2⁴ⁿ⁻⁴ ซึ่งเป็นกำลังที่น้อยกว่าออกเป็นตัวร่วม

2⁴ⁿ⁻⁴ (2⁶ + 1)

= 2⁴ⁿ⁻⁴(64 + 1) = 65 × 2⁴ⁿ⁻⁴

🔍

5. ตรวจสอบข้อความข้อ ก.

จัดรูปตัวเศษ

2⁴ⁿ⁺² + 2⁴ⁿ⁻⁴

= 2⁴ⁿ⁻⁴ (2⁶ + 1)

= 65 × 2⁴ⁿ⁻⁴

จัดรูปตัวส่วน

(2ⁿ)² × 2⁻²ⁿ⁻⁴ × 2⁴ⁿ

= 2²ⁿ × 2⁻²ⁿ⁻⁴ × 2⁴ⁿ

= 2^{2n−2n−4+4n} = 2⁴ⁿ⁻⁴

นำตัวเศษหารด้วยตัวส่วน

(65 × 2⁴ⁿ⁻⁴) ÷ 2⁴ⁿ⁻⁴ = 65

สรุป

ข้อ ก. ถูกต้อง

√

6. กรณฑ์และเลขยกกำลังเศษส่วน

ⁿ√a = a^1/n

ⁿ√(a^m) = a^m/n

ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)

หากเป็นกรณฑ์ซ้อน ให้คูณเลขชี้กำลังเศษส่วนเข้าด้วยกัน

⁶√(³√a) = (a^1/3)^1/6 = a^1/18

ข้อควรระวัง

กรณฑ์ซ้อนต้องคูณดัชนีของกรณฑ์ ไม่ใช่นำมาบวกกัน

🧪

7. ตรวจสอบข้อความข้อ ข.

พิจารณาส่วนแรก

4,096 = 2¹²

⁶√(³√4,096) = (2¹²)^1/18

= 2^12/18 = 2^2/3 = ³√4

พิจารณาส่วนที่สอง

√625 = 25

³√(√625) = ³√25

นำมาคูณกัน

³√4 × ³√25 = ³√(4 × 25)

= ³√100

แต่โจทย์กำหนดว่าเท่ากับ ³√10 ซึ่งไม่เท่ากัน

สรุป

ข้อ ข. ไม่ถูกต้อง เพราะค่าที่แท้จริงคือ ³√100 ไม่ใช่ ³√10

ตอบ ข้อ 1

ข้อ ก. ถูกต้องเพียงข้อเดียว

⚡

8. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น

หารลงตัวพร้อมกัน → หา ค.ร.น.

หาจำนวนในช่วง → หาพหุคูณตัวแรกและตัวสุดท้าย

นับจากลำดับที่ a ถึง b → b − a + 1

เลขยกกำลังฐานเดียวกันคูณกัน → บวกเลขชี้กำลัง

เลขยกกำลังฐานเดียวกันหารกัน → ลบเลขชี้กำลัง

กรณฑ์ซ้อน → เปลี่ยนเป็นเลขยกกำลังเศษส่วน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้ ห.ร.ม. แทน ค.ร.น.
ลืมบวก 1 เมื่อนับจำนวนพหุคูณ
นำเลขชี้กำลังมาบวกกันในกรณีที่พจน์ถูกบวกกัน
ไม่ดึงตัวประกอบร่วมของเลขยกกำลัง
คำนวณกรณฑ์ซ้อนโดยไม่เปลี่ยนเป็นเลขชี้กำลังเศษส่วน

✏️

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

จงหา ค.ร.น. ของ 8, 12 และ 18

ดูเฉลย

8 = 2³

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

ค.ร.น. = 2³ × 3² = 72

ตอบ 72
จำนวนเต็มระหว่าง 500 และ 1,000 ที่หารด้วย 60 ลงตัวมีกี่จำนวน

ดูเฉลย

60 × 9 = 540

60 × 16 = 960

จำนวนทั้งหมด = 16 − 9 + 1 = 8

ตอบ 8 จำนวน
จงหาค่าของ 2⁵ × 2⁻²

ดูเฉลย

2⁵ × 2⁻² = 2⁵⁻² = 2³ = 8

ตอบ 8
จงหาค่าของ (3²)³ ÷ 3⁴

ดูเฉลย

(3²)³ ÷ 3⁴ = 3⁶ ÷ 3⁴ = 3² = 9

ตอบ 9
จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ³√16 × ³√4

ดูเฉลย

³√16 × ³√4 = ³√64 = 4

ตอบ 4

🎓

10. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 ค.ร.น. ของ 12, 20 และ 30 เท่ากับเท่าใด A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

ดูคำอธิบาย

12 = 2² × 3

20 = 2² × 5

30 = 2 × 3 × 5

ค.ร.น. = 2² × 3 × 5 = 60

ตอบ B

ข้อ 2 จำนวนเต็มตั้งแต่ 1,000 ถึง 2,000 ที่หารด้วย 120 ลงตัวมีกี่จำนวน A. 6 จำนวน B. 7 จำนวน C. 8 จำนวน D. 9 จำนวน

ดูคำอธิบาย

120 × 9 = 1,080

120 × 16 = 1,920

จำนวนทั้งหมด = 16 − 9 + 1 = 8

ตอบ C

ข้อ 3 ข้อใดมีค่าเท่ากับ 5⁷ ÷ 5³ A. 5³ B. 5¹⁰ C. 25 D. 5⁴

ดูคำอธิบาย

5⁷ ÷ 5³ = 5⁷⁻³ = 5⁴

ตอบ D

ข้อ 4 ข้อใดมีค่าเท่ากับ (2³)⁴ A. 2¹² B. 2⁷ C. 2⁸ D. 2⁶

ดูคำอธิบาย

(2³)⁴ = 2^3×4 = 2¹²

ตอบ A

ข้อ 5 ³√2 × ³√4 มีค่าเท่ากับข้อใด A. ³√6 B. ³√2 C. 2 D. 8

ดูคำอธิบาย

³√2 × ³√4 = ³√8 = 2

ตอบ C

📌

11. สรุปก่อนจบบท

หารลงตัวพร้อมกัน → ใช้ ค.ร.น.

จำนวนพหุคูณตั้งแต่ลำดับที่ a ถึง b = b − a + 1

a^m × aⁿ = a^m+n

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^mn

ⁿ√a = a^1/n

ฉันหา ค.ร.น. ของหลายจำนวนได้
ฉันหาพหุคูณตัวแรกและตัวสุดท้ายในช่วงได้
ฉันนับจำนวนพหุคูณโดยไม่ลืมบวก 1
ฉันจัดรูปเลขยกกำลังฐานเดียวกันได้
ฉันเปลี่ยนกรณฑ์ซ้อนเป็นเลขยกกำลังเศษส่วนได้

แนวคิดสำคัญที่สุด

แยกโจทย์ออกเป็นขั้นตอน: หา ค.ร.น. ก่อนเมื่อเห็นคำว่าหารลงตัวพร้อมกัน ส่วนเลขยกกำลังและกรณฑ์ ให้จัดรูปให้อยู่ในฐานเดียวกันก่อนคำนวณ

EP20 การหารลงตัว ค.ร.น. และเลขยกกำลัง–กรณฑ์

เส้นทางสู่เป้าหมาย

การหารลงตัว ค.ร.น. เลขยกกำลัง และกรณฑ์

ปัญหานำจากแนวข้อสอบ

โจทย์ที่ 1

โจทย์ที่ 2

1. การหารลงตัวพร้อมกันและ ค.ร.น.

ตัวอย่าง

2. การนับพหุคูณในช่วงที่กำหนด

พหุคูณตัวแรกที่มากกว่า 2,000

พหุคูณตัวสุดท้ายที่น้อยกว่า 4,000

นับจำนวนทั้งหมด

3. กลับมาแก้โจทย์ที่ 1

4. กฎเลขยกกำลังที่ต้องใช้

ตัวอย่าง

5. ตรวจสอบข้อความข้อ ก.

จัดรูปตัวเศษ

จัดรูปตัวส่วน

นำตัวเศษหารด้วยตัวส่วน

6. กรณฑ์และเลขยกกำลังเศษส่วน

7. ตรวจสอบข้อความข้อ ข.

พิจารณาส่วนแรก

พิจารณาส่วนที่สอง

นำมาคูณกัน

8. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น

9. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

10. แนวข้อสอบประยุกต์ 5 ข้อ

11. สรุปก่อนจบบท