ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP29 การประยุกต์การแปรผันกับพื้นที่และปริมาตร

ฝึกใช้แนวคิดการแปรผันกับสูตรพื้นที่และปริมาตร โดยวิเคราะห์ผลของการเปลี่ยนรัศมี ความสูง และเส้นผ่านศูนย์กลาง

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP29 • Exam-Driven Mathematics

การประยุกต์การแปรผันกับพื้นที่และปริมาตร

ฝึกนำแนวคิดการแปรผันตรงและกำลัง มาประยุกต์กับสูตรเรขาคณิต โดยเฉพาะพื้นที่วงกลม ปริมาตรทรงกระบอก และปริมาตรทรงกลม

เป้าหมายของบท

วิเคราะห์ได้ว่าการเปลี่ยนรัศมี ความสูง หรือเส้นผ่านศูนย์กลาง ส่งผลต่อพื้นที่และปริมาตรอย่างไร โดยใช้วิธีตัวคูณและอัตราส่วนแทนการคำนวณยาว

🧠

1. ทบทวนแนวคิดการแปรผัน

1.1 การแปรผันตรง

\[ y\propto x \quad\Longrightarrow\quad y=kx \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น \(m\) เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น \(m\) เท่า

1.2 การแปรผันตรงกับกำลังสอง

\[ y\propto x^2 \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น \(m\) เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น \(m^2\) เท่า

\[ x\rightarrow mx \quad\Longrightarrow\quad x^2\rightarrow m^2x^2 \]

1.3 การแปรผันตรงกับกำลังสาม

\[ y\propto x^3 \]

ถ้า \(x\) เพิ่มเป็น \(m\) เท่า \(y\) จะเพิ่มเป็น \(m^3\) เท่า

เทคนิคจำ

ดูเลขชี้กำลังของตัวแปรในสูตร แล้วนำตัวคูณมายกกำลังตามเลขชี้กำลังนั้น

📐

2. สูตรเรขาคณิตที่จำเป็น

พื้นที่วงกลม

\[ A=\pi r^2 \]
\[ A\propto r^2 \]

ปริมาตรทรงกระบอก

\[ V=\pi r^2h \]
\[ V\propto r^2h \]

ปริมาตรทรงกลม

\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V\propto r^3 \]

เส้นผ่านศูนย์กลาง

\[ d=2r \]
จุดที่พบบ่อยในข้อสอบ

โจทย์อาจให้เส้นผ่านศูนย์กลาง แต่สูตรใช้รัศมี จึงต้องเปลี่ยนจาก \(d\) เป็น \(r=\frac{d}{2}\) ก่อน

⚡

3. เทคนิคเปรียบเทียบด้วยตัวคูณ

เมื่อโจทย์ถามว่า “ปริมาตรเปลี่ยนอย่างไร” ไม่จำเป็นต้องแทนค่าจริง ให้พิจารณาเฉพาะตัวคูณของแต่ละปริมาณ

สำหรับทรงกระบอก

\[ V=\pi r^2h \]

ถ้ารัศมีเปลี่ยนเป็น \(ar\) และความสูงเปลี่ยนเป็น \(bh\)

\[ V_{\text{ใหม่}} = \pi(ar)^2(bh) \]
\[ V_{\text{ใหม่}} = a^2b\pi r^2h \]
\[ \frac{V_{\text{ใหม่}}}{V_{\text{เดิม}}} = a^2b \]
สูตรลัดทรงกระบอก
\[ \text{ตัวคูณปริมาตร} = (\text{ตัวคูณรัศมี})^2 (\text{ตัวคูณความสูง}) \]
🔍

4. ตัวอย่างพื้นฐานการเปลี่ยนขนาด

ตัวอย่างที่ 1

ถ้ารัศมีของวงกลมเพิ่มเป็น 2 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็นกี่เท่า

\[ A\propto r^2 \]
\[ 2^2=4 \]

พื้นที่เพิ่มเป็น 4 เท่า

ตัวอย่างที่ 2

ถ้ารัศมีของทรงกลมเพิ่มเป็น 3 เท่า ปริมาตรจะเพิ่มเป็นกี่เท่า

\[ V\propto r^3 \]
\[ 3^3=27 \]

ปริมาตรเพิ่มเป็น 27 เท่า

ตัวอย่างที่ 3

ถ้ารัศมีทรงกระบอกลดเหลือครึ่งหนึ่ง แต่ความสูงเพิ่มเป็น 4 เท่า

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2(4) =\frac{1}{4}(4) =1 \]

ปริมาตรจึงเท่าเดิม

❓

5. ปัญหานำข้อที่ 1

ปริมาตรของทรงกระบอกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ กำลังสองของรัศมีฐานและความสูง

ถ้ารัศมีของฐานเพิ่มเป็น 3 เท่าของรัศมีเดิม และความสูงลดลงเหลือ \(\frac{1}{9}\) เท่าของความสูงเดิม ปริมาตรของทรงกระบอกจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร

  1. ปริมาตรเพิ่มขึ้น
  2. ปริมาตรลดลง
  3. ปริมาตรเท่าเดิม
  4. ข้อมูลไม่เพียงพอ
วางแผนก่อนทำ

ใช้ตัวคูณของ \(r^2\) คูณกับตัวคูณของ \(h\)

✅

6. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 1

ปริมาตรทรงกระบอกคือ

\[ V=\pi r^2h \]

รัศมีใหม่เป็น 3 เท่าของเดิม

\[ r_{\text{ใหม่}}=3r \]

ความสูงใหม่เป็น \(\frac{1}{9}\) เท่าของเดิม

\[ h_{\text{ใหม่}}=\frac{h}{9} \]

แทนในสูตร

\[ V_{\text{ใหม่}} = \pi(3r)^2\left(\frac{h}{9}\right) \]
\[ V_{\text{ใหม่}} = \pi(9r^2)\left(\frac{h}{9}\right) \]
\[ V_{\text{ใหม่}} = \pi r^2h \]
\[ V_{\text{ใหม่}}=V_{\text{เดิม}} \]
ตอบ ข้อ 3

ปริมาตรของทรงกระบอกเท่าเดิม

⚡

7. วิธีคิดเร็วของปัญหานำข้อที่ 1

รัศมีเพิ่มเป็น 3 เท่า แต่ในสูตรรัศมียกกำลังสอง

\[ 3^2=9 \]

ส่วนความสูงเหลือ \(\frac{1}{9}\) เท่า

\[ 9\left(\frac{1}{9}\right)=1 \]
\[ \text{ตัวคูณปริมาตร}=1 \]

จึงสรุปว่าปริมาตรเท่าเดิม

จุดหลอก

อย่าคิดว่ารัศมีเพิ่ม 3 เท่า แล้วปริมาตรเพิ่ม 3 เท่า เพราะในสูตรมี \(r^2\)

❓

8. ปัญหานำข้อที่ 2

วัตถุทรงกลมและทรงกระบอกมีปริมาตรเท่ากัน และเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ยาวเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานทรงกระบอก

ความสูงของทรงกระบอกคิดเป็นเศษส่วนเท่าใด ของความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม

  1. \(\frac{1}{3}\)
  2. \(\frac{2}{3}\)
  3. \(1\)
  4. \(\frac{4}{3}\)
วางแผนก่อนทำ

เมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน รัศมีของทรงกลมและทรงกระบอกย่อมเท่ากัน

✅

9. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 2

ให้รัศมีของทรงกลมและรัศมีฐานของทรงกระบอก เท่ากับ \(r\)

ปริมาตรทรงกลมคือ

\[ V_{\text{ทรงกลม}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

ปริมาตรทรงกระบอกคือ

\[ V_{\text{ทรงกระบอก}} = \pi r^2h \]

เนื่องจากปริมาตรเท่ากัน

\[ \pi r^2h = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

ตัด \(\pi r^2\) ทั้งสองข้าง

\[ h=\frac{4}{3}r \]

แต่โจทย์ถามความสูงเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

\[ d=2r \]
\[ \frac{h}{d} = \frac{\frac{4}{3}r}{2r} \]
\[ \frac{h}{d} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
ตอบ ข้อ 2

ความสูงของทรงกระบอกเท่ากับ \(\frac{2}{3}\) ของเส้นผ่านศูนย์กลางทรงกลม

🔎

10. จุดสำคัญของปัญหานำข้อที่ 2

ขั้นแรกตอบได้ว่า

\[ h=\frac{4}{3}r \]

แต่ค่านี้เป็นการเปรียบเทียบกับรัศมี ในขณะที่โจทย์ถามเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

\[ d=2r \]

จึงต้องหารด้วย \(2r\) อีกครั้ง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ผู้ทำข้อสอบจำนวนมากตอบ \(\frac{4}{3}\) เพราะหยุดเมื่อหา \(h\) ในรูปของ \(r\) ได้ แต่ยังไม่ได้ตอบตามสิ่งที่โจทย์ถาม

📋

11. ตารางตัวคูณที่ควรจำ

พื้นที่วงกลม

\[ A\propto r^2 \]
  • รัศมีเพิ่ม 2 เท่า → พื้นที่เพิ่ม 4 เท่า
  • รัศมีเพิ่ม 3 เท่า → พื้นที่เพิ่ม 9 เท่า
  • รัศมีเหลือครึ่งหนึ่ง → พื้นที่เหลือ \(\frac{1}{4}\)

ปริมาตรทรงกลม

\[ V\propto r^3 \]
  • รัศมีเพิ่ม 2 เท่า → ปริมาตรเพิ่ม 8 เท่า
  • รัศมีเพิ่ม 3 เท่า → ปริมาตรเพิ่ม 27 เท่า
  • รัศมีเหลือครึ่งหนึ่ง → ปริมาตรเหลือ \(\frac{1}{8}\)

ปริมาตรทรงกระบอก

\[ V\propto r^2h \]

ต้องพิจารณาทั้งรัศมีและความสูงพร้อมกัน

🧭

12. กรอบคิด 4 ขั้นตอน

  1. เขียนสูตรหลัก เช่น \(V=\pi r^2h\)
  2. ดูเลขชี้กำลัง ตัวแปรใดยกกำลังเท่าใด
  3. ใส่ตัวคูณ เช่น รัศมีเพิ่ม 3 เท่า ให้ใช้ \(3^2\)
  4. ตอบตามหน่วยเปรียบเทียบ ตรวจว่าโจทย์ถามเทียบกับรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง
วิธีคิดเร็ว

หากโจทย์ถามเพียงว่าเพิ่ม ลด หรือเท่าเดิม ใช้ตัวคูณได้ทันที โดยไม่จำเป็นต้องหาปริมาตรจริง

⚠️

13. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • เห็นรัศมีเพิ่ม 3 เท่า แล้วใช้ตัวคูณ 3 ทั้งที่สูตรมี \(r^2\)
  • ลืมพิจารณาความสูงของทรงกระบอก
  • ใช้สูตรพื้นที่แทนสูตรปริมาตร
  • สับสนระหว่างรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • ตัดตัวแปรผิดขณะแก้สมการ
  • หาความสูงในรูปของ \(r\) ได้แล้วหยุด ทั้งที่โจทย์ถามเทียบกับ \(2r\)
ตรวจคำตอบด้วยเหตุผล

ถ้ารัศมีเพิ่มมาก แต่ความสูงลดลง อย่ารีบสรุปว่าปริมาตรเพิ่มหรือลด ต้องคูณผลกระทบของทั้งสองปริมาณก่อน

✏️

14. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. ถ้ารัศมีของวงกลมเพิ่มเป็น 4 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็นกี่เท่า

    ดูเฉลย
    \[ A\propto r^2 \]
    \[ 4^2=16 \]

    ตอบ 16 เท่า

  2. ถ้ารัศมีของทรงกลมเพิ่มเป็น 2 เท่า ปริมาตรจะเพิ่มเป็นกี่เท่า

    ดูเฉลย
    \[ V\propto r^3 \]
    \[ 2^3=8 \]

    ตอบ 8 เท่า

  3. ทรงกระบอกมีรัศมีเพิ่มเป็น 2 เท่า และความสูงลดเหลือครึ่งหนึ่ง ปริมาตรใหม่เป็นกี่เท่าของเดิม

    ดูเฉลย
    \[ 2^2\left(\frac{1}{2}\right) =4\left(\frac{1}{2}\right) =2 \]

    ตอบ 2 เท่า

  4. ทรงกระบอกมีรัศมีลดเหลือ \(\frac{1}{3}\) ของเดิม ถ้าต้องการให้ปริมาตรเท่าเดิม ความสูงต้องเพิ่มเป็นกี่เท่า

    ดูเฉลย

    ตัวคูณของรัศมีกำลังสองคือ

    \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]

    ความสูงจึงต้องเพิ่ม 9 เท่า เพื่อให้ตัวคูณรวมเท่ากับ 1

    \[ \frac{1}{9}(9)=1 \]

    ตอบ 9 เท่า

  5. ทรงกลมและทรงกระบอกมีรัศมีเท่ากัน และมีปริมาตรเท่ากัน ความสูงทรงกระบอกเป็นกี่เท่าของรัศมี

    ดูเฉลย
    \[ \pi r^2h = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
    \[ h=\frac{4}{3}r \]

    ตอบ \(\frac{4}{3}\) เท่าของรัศมี

🎓

15. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 ปริมาตรทรงกระบอกมีสูตร \(V=\pi r^2h\) ถ้ารัศมีเพิ่มเป็น 3 เท่า และความสูงลดเหลือ \(\frac{1}{9}\) เท่าของเดิม ปริมาตรจะเปลี่ยนอย่างไร

ดูคำอธิบาย
\[ 3^2\left(\frac{1}{9}\right) =9\left(\frac{1}{9}\right) =1 \]

ตัวคูณปริมาตรเท่ากับ 1 ปริมาตรจึงเท่าเดิม

ตอบ C

ข้อ 2 ทรงกลมและทรงกระบอกมีปริมาตรเท่ากัน และมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน ความสูงของทรงกระบอกเป็นเศษส่วนเท่าใด ของเส้นผ่านศูนย์กลาง

ดูคำอธิบาย
\[ \pi r^2h = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ h=\frac{4}{3}r \]
\[ \frac{h}{2r} = \frac{2}{3} \]

ตอบ B

ข้อ 3 ถ้ารัศมีของวงกลมเพิ่มเป็น 2 เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็นกี่เท่า

ดูคำอธิบาย
\[ A\propto r^2 \]
\[ 2^2=4 \]

ตอบ D. 4 เท่า

ข้อ 4 ทรงกระบอกมีรัศมีลดเหลือครึ่งหนึ่ง และความสูงเพิ่มเป็น 4 เท่า ปริมาตรใหม่เป็นกี่เท่าของเดิม

ดูคำอธิบาย
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2(4) = \frac{1}{4}(4) =1 \]

ปริมาตรใหม่เท่ากับปริมาตรเดิม

ตอบ C

ข้อ 5 ถ้ารัศมีของทรงกลมเพิ่มเป็น 3 เท่า ปริมาตรจะเพิ่มเป็นกี่เท่า

ดูคำอธิบาย
\[ V\propto r^3 \]
\[ 3^3=27 \]

ตอบ D. 27 เท่า

📌

16. สรุปก่อนจบบท

\[ A_{\text{วงกลม}}=\pi r^2 \]
\[ V_{\text{ทรงกระบอก}}=\pi r^2h \]
\[ V_{\text{ทรงกลม}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ \frac{V_{\text{ใหม่}}}{V_{\text{เดิม}}} = (\text{ตัวคูณรัศมี})^2 (\text{ตัวคูณความสูง}) \]
\[ d=2r \]
  • ฉันดูเลขชี้กำลังของตัวแปรในสูตรได้
  • ฉันหาตัวคูณของพื้นที่วงกลมได้
  • ฉันหาตัวคูณของปริมาตรทรงกระบอกได้
  • ฉันหาตัวคูณของปริมาตรทรงกลมได้
  • ฉันแยกรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลางได้
  • ฉันเปรียบเทียบปริมาตรโดยไม่ต้องแทนค่าจริงได้
  • ฉันตรวจว่าสิ่งที่หาได้ตรงกับสิ่งที่โจทย์ถามหรือไม่
หัวใจของบท

เมื่อตัวแปรเปลี่ยนเป็น \(m\) เท่า ให้นำ \(m\) ไปยกกำลังตามเลขชี้กำลังในสูตร แล้วคูณผลกระทบของทุกตัวแปรเข้าด้วยกัน

กลับด้านบน