ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP30 ประพจน์สมมูลและเทคนิคแปลงรูปทางตรรกศาสตร์

ฝึกเขียนประพจน์ใหม่โดยคงค่าความจริงเดิม ใช้สูตรสมมูล กฎเดอมอร์แกน การตัดลูกศร กฎแจกแจงและกฎดูดกลืน

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP30 • Exam-Driven Mathematics

ประพจน์สมมูลและเทคนิคแปลงรูปทางตรรกศาสตร์

ฝึกเขียนประพจน์เดิมให้อยู่ในรูปใหม่ โดยยังคงค่าความจริงเหมือนเดิมทุกกรณี พร้อมเทคนิคตัดลูกศร กระจายนิเสธ แจกแจง ลดรูป และตรวจตัวเลือกอย่างรวดเร็ว

เป้าหมายของบท

ใช้สูตรสมมูลแปลงประพจน์ได้ เปรียบเทียบประพจน์สองรูปได้ และตรวจสอบว่าข้อใดสมมูลกันโดยไม่ต้องสร้างตารางค่าความจริงทุกครั้ง

🧠

1. ประพจน์สมมูลคืออะไร

ประพจน์สองประพจน์เรียกว่า สมมูลกัน เมื่อมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี

\[ P\equiv Q \]

อ่านว่า \(P\) สมมูลกับ \(Q\)

ความหมายแบบง่าย

เป็นการเขียนข้อความเดิมใหม่ในอีกรูปหนึ่ง แม้หน้าตาต่างกัน แต่ความหมายทางตรรกศาสตร์เท่าเดิม

ตัวอย่าง

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]

ทั้งสองรูปมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี จึงสมมูลกัน

📋

2. สูตรสมมูลหลักที่ต้องจำ

2.1 ประพจน์เงื่อนไข

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
เทคนิคจำ

ตัดลูกศร เปลี่ยนประพจน์หน้าเป็นนิเสธ แล้วเชื่อมด้วย “หรือ”

2.2 บทกลับทางตรงข้าม

\[ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow\neg p \]

2.3 นิเสธของประพจน์เงื่อนไข

\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

2.4 ปฏิเสธซ้อน

\[ \neg(\neg p)\equiv p \]
🔄

3. กฎของเดอมอร์แกน

\[ \neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q \]
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]
จำ 2 ขั้น
  1. กระจายนิเสธเข้าไปทุกประพจน์
  2. เปลี่ยน \(\land\) เป็น \(\lor\) หรือเปลี่ยน \(\lor\) เป็น \(\land\)

ตัวอย่าง

\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]
\[ \neg(p\land q\land r) \equiv \neg p\lor\neg q\lor\neg r \]
✖️

4. กฎแจกแจงและกฎดูดกลืน

4.1 กฎแจกแจง

\[ p\land(q\lor r) \equiv (p\land q)\lor(p\land r) \]
\[ p\lor(q\land r) \equiv (p\lor q)\land(p\lor r) \]

4.2 กฎดูดกลืน

\[ p\lor(p\land q)\equiv p \]
\[ p\land(p\lor q)\equiv p \]

4.3 กฎพจน์ซ้ำ

\[ p\lor p\equiv p \]
\[ p\land p\equiv p \]
↔️

5. กฎสลับที่และกฎเปลี่ยนกลุ่ม

กฎสลับที่

\[ p\lor q\equiv q\lor p \]
\[ p\land q\equiv q\land p \]

กฎเปลี่ยนกลุ่ม

\[ (p\lor q)\lor r \equiv p\lor(q\lor r) \]
\[ (p\land q)\land r \equiv p\land(q\land r) \]
ประโยชน์ในข้อสอบ

สามารถเรียงพจน์ใหม่และตัดพจน์ซ้ำได้ เพื่อให้ทั้งสองด้านอยู่ในรูปมาตรฐานเดียวกัน

🧭

6. ขั้นตอนหาประพจน์สมมูล

  1. ตัดลูกศร ใช้ \(p\rightarrow q\equiv\neg p\lor q\)
  2. กระจายนิเสธ ใช้กฎเดอมอร์แกน
  3. แจกแจงเมื่อจำเป็น เพื่อเปิดวงเล็บ
  4. ตัดพจน์ซ้ำหรือใช้กฎดูดกลืน
  5. เรียงพจน์ใหม่ แล้วเปรียบเทียบทั้งสองด้าน
\[ \boxed{ \text{ตัดลูกศร} \rightarrow \text{กระจายนิเสธ} \rightarrow \text{แจกแจง} \rightarrow \text{ลดรูป} } \]
🔎

7. ตัวอย่างการตัดลูกศร

จงลดรูป

\[ (p\land q)\rightarrow r \]

ขั้นที่ 1 ตัดลูกศร

\[ (p\land q)\rightarrow r \equiv \neg(p\land q)\lor r \]

ขั้นที่ 2 ใช้กฎเดอมอร์แกน

\[ \neg(p\land q)\lor r \equiv (\neg p\lor\neg q)\lor r \]

ขั้นที่ 3 เรียงรูป

\[ \boxed{\neg p\lor\neg q\lor r} \]
💡

8. ตัวอย่างเปรียบเทียบสองประพจน์

ตรวจว่า

\[ (p\land q)\rightarrow r \]

สมมูลกับ

\[ (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \]

ด้านซ้าย

\[ (p\land q)\rightarrow r \]
\[ \equiv \neg(p\land q)\lor r \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]

ด้านขวา

\[ (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \]
\[ \equiv (\neg p\lor r)\lor(\neg q\lor r) \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]
สรุป

ทั้งสองด้านลดรูปได้เหมือนกัน จึงเป็นประพจน์สมมูลกัน

⚡

9. เทคนิคหักล้างตัวเลือก

ถ้าต้องการพิสูจน์ว่าประพจน์สองประพจน์ ไม่สมมูลกัน ไม่จำเป็นต้องสร้างตารางค่าความจริงครบทุกแถว

เพียงหาค่าความจริงหนึ่งกรณี ที่ทำให้ประพจน์ทั้งสองมีค่าต่างกัน

ตัวอย่าง

ตรวจว่า

\[ p\rightarrow q \]

สมมูลกับ

\[ q\rightarrow p \]

เลือก

\[ p=T,\qquad q=F \]
\[ p\rightarrow q=F \]
\[ q\rightarrow p=T \]

ค่าความจริงต่างกัน จึงไม่สมมูลกัน

หลักสำคัญ

พบเพียงหนึ่งกรณีที่ค่าความจริงต่างกัน ก็สรุปได้ทันทีว่าไม่สมมูลกัน

❓

10. ปัญหานำ

จงพิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ใดต่อไปนี้สมมูลกัน

  1. \[ (p\land q)\rightarrow r \quad\text{กับ}\quad (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \]
  2. \[ \neg(p\lor q)\lor r \quad\text{กับ}\quad (p\land q)\lor r \]
  3. \[ p\rightarrow\neg(q\rightarrow p) \quad\text{กับ}\quad \neg p\lor(p\lor q) \]
  4. \[ \neg[(p\land q)\rightarrow(\neg q\lor r)] \quad\text{กับ}\quad p\land(q\rightarrow\neg r) \]
วางแผนก่อนทำ

ลดรูปประพจน์ทั้งสองด้านของแต่ละข้อ ให้อยู่ในรูปที่มีเพียง \(\neg,\land,\lor\)

✅

11. วิเคราะห์ตัวเลือกข้อ 1

ด้านซ้าย

\[ (p\land q)\rightarrow r \]
\[ \equiv \neg(p\land q)\lor r \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]

ด้านขวา

\[ (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \]
\[ \equiv (\neg p\lor r)\lor(\neg q\lor r) \]
\[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]
สรุป

ทั้งสองด้านลดรูปได้ \(\neg p\lor\neg q\lor r\) เหมือนกัน จึงสมมูลกัน

❌

12. วิเคราะห์ตัวเลือกข้อ 2

ด้านซ้าย

\[ \neg(p\lor q)\lor r \]
\[ \equiv (\neg p\land\neg q)\lor r \]

ด้านขวา

\[ (p\land q)\lor r \]

ด้านซ้ายมี \(\neg p\land\neg q\) แต่ด้านขวามี \(p\land q\) จึงไม่ใช่รูปเดียวกัน

ตรวจด้วยค่าความจริง

เลือก

\[ p=T,\quad q=T,\quad r=F \]
\[ \neg(p\lor q)\lor r=F \]
\[ (p\land q)\lor r=T \]

ค่าต่างกัน จึงไม่สมมูลกัน

❌

13. วิเคราะห์ตัวเลือกข้อ 3

ด้านซ้าย

\[ p\rightarrow\neg(q\rightarrow p) \]

ตัดลูกศรชั้นในก่อน

\[ q\rightarrow p \equiv \neg q\lor p \]
\[ \neg(q\rightarrow p) \equiv \neg(\neg q\lor p) \]
\[ \equiv q\land\neg p \]

ดังนั้น

\[ p\rightarrow(q\land\neg p) \]
\[ \equiv \neg p\lor(q\land\neg p) \]

ใช้กฎดูดกลืน

\[ \equiv \neg p \]

ด้านขวา

\[ \neg p\lor(p\lor q) \]
\[ \equiv (\neg p\lor p)\lor q \]
\[ \equiv T\lor q \equiv T \]

ด้านซ้ายเป็น \(\neg p\) แต่ด้านขวาเป็นสัจนิรันดร์ จึงไม่สมมูลกัน

❌

14. วิเคราะห์ตัวเลือกข้อ 4

ด้านซ้าย

\[ \neg[(p\land q)\rightarrow(\neg q\lor r)] \]

ใช้สูตร \(\neg(A\rightarrow B)\equiv A\land\neg B\)

\[ \equiv (p\land q)\land\neg(\neg q\lor r) \]
\[ \equiv (p\land q)\land(q\land\neg r) \]
\[ \equiv p\land q\land\neg r \]

ด้านขวา

\[ p\land(q\rightarrow\neg r) \]
\[ \equiv p\land(\neg q\lor\neg r) \]

ด้านซ้ายเป็น \(p\land q\land\neg r\) แต่ด้านขวาเป็น \(p\land(\neg q\lor\neg r)\) จึงไม่สมมูลกัน

คำตอบของปัญหานำ

มีเพียงข้อ 1 ที่สมมูลกัน

⚡

15. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็ว

เทคนิคที่ 1 ตัดลูกศรทุกตัวก่อน

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]

เทคนิคที่ 2 ทำจากวงเล็บชั้นใน

ถ้ามีลูกศรซ้อนกัน เช่น \(p\rightarrow(q\rightarrow r)\) ให้แปลงวงเล็บด้านในก่อน

เทคนิคที่ 3 นิเสธครอบลูกศร

\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

ใช้สูตรนี้ได้ทันที ไม่ต้องตัดลูกศรหลายขั้น

เทคนิคที่ 4 ดูดกลืนพจน์ซ้ำ

\[ p\lor(p\land q)\equiv p \]

เทคนิคที่ 5 หักล้างแทนการลดรูป

ถ้าตัวเลือกซับซ้อน ลองกำหนดค่าความจริงเพื่อทำให้สองด้านต่างกัน

📌

16. สูตรที่ออกสอบบ่อย

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]
\[ \neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q \]
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]
\[ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow\neg p \]
\[ p\lor(p\land q)\equiv p \]
\[ p\land(p\lor q)\equiv p \]
\[ p\lor\neg p\equiv T \]
\[ p\land\neg p\equiv F \]
✏️

17. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. จงหาประพจน์ที่สมมูลกับ \(p\rightarrow q\)

    ดูเฉลย
    \[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]

  2. จงลดรูป \(\neg(p\lor q)\)

    ดูเฉลย
    \[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]

  3. จงลดรูป \((p\land q)\rightarrow r\)

    ดูเฉลย
    \[ (p\land q)\rightarrow r \]
    \[ \equiv \neg(p\land q)\lor r \]
    \[ \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]

  4. จงลดรูป \(\neg[p\rightarrow(q\lor r)]\)

    ดูเฉลย
    \[ \neg[p\rightarrow(q\lor r)] \]
    \[ \equiv p\land\neg(q\lor r) \]
    \[ \equiv p\land\neg q\land\neg r \]

  5. จงตรวจว่า \(p\rightarrow q\) สมมูลกับ \(q\rightarrow p\) หรือไม่

    ดูเฉลย

    เลือก \(p=T,\ q=F\)

    \[ p\rightarrow q=F \]
    \[ q\rightarrow p=T \]

    ค่าต่างกัน จึงไม่สมมูลกัน

🎓

18. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 รูปแบบของประพจน์ใดต่อไปนี้สมมูลกัน

1. \[ (p\land q)\rightarrow r \quad\text{กับ}\quad (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \]

2. \[ \neg(p\lor q)\lor r \quad\text{กับ}\quad (p\land q)\lor r \]

3. \[ p\rightarrow\neg(q\rightarrow p) \quad\text{กับ}\quad \neg p\lor(p\lor q) \]

4. \[ \neg[(p\land q)\rightarrow(\neg q\lor r)] \quad\text{กับ}\quad p\land(q\rightarrow\neg r) \]

ดูคำอธิบาย

ลดรูปข้อ 1

\[ (p\land q)\rightarrow r \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]
\[ (p\rightarrow r)\lor(q\rightarrow r) \equiv \neg p\lor\neg q\lor r \]

ทั้งสองด้านได้รูปเดียวกัน จึงสมมูลกัน

ตอบ A. ข้อ 1

ข้อ 2 ข้อใดสมมูลกับ \(p\rightarrow q\)

ดูคำอธิบาย
\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]

ตอบ B

ข้อ 3 ข้อใดสมมูลกับ \(\neg(p\rightarrow q)\)

ดูคำอธิบาย
\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]

ตอบ D

ข้อ 4 ข้อใดสมมูลกับ \(\neg(p\lor q)\)

ดูคำอธิบาย
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]

ตอบ C

ข้อ 5 ข้อใดสมมูลกับ \(p\lor(p\land q)\)

ดูคำอธิบาย

ใช้กฎดูดกลืน

\[ p\lor(p\land q) \equiv p \]

ตอบ A

📌

19. สรุปก่อนจบบท

\[ p\rightarrow q \equiv \neg p\lor q \]
\[ \neg(p\rightarrow q) \equiv p\land\neg q \]
\[ \neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q \]
\[ \neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q \]
\[ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow\neg p \]
\[ p\lor(p\land q)\equiv p \]
\[ p\land(p\lor q)\equiv p \]
  • ฉันเข้าใจความหมายของประพจน์สมมูล
  • ฉันตัดลูกศรของประพจน์เงื่อนไขได้
  • ฉันใช้กฎเดอมอร์แกนได้
  • ฉันใช้กฎแจกแจงและกฎดูดกลืนได้
  • ฉันลดรูปประพจน์ทั้งสองด้านเพื่อเปรียบเทียบได้
  • ฉันใช้ค่าความจริงหนึ่งกรณีเพื่อหักล้างได้
  • ฉันตรวจโจทย์สมมูลแบบหลายตัวเลือกได้
หัวใจของบท

อย่าเปรียบเทียบประพจน์จากหน้าตา ให้แปลงทั้งสองด้านให้อยู่ในรูปมาตรฐานเดียวกัน หากลดรูปได้เหมือนกันจึงสมมูลกัน แต่ถ้าพบค่าความจริงเพียงหนึ่งกรณีที่ต่างกัน แสดงว่าไม่สมมูลกันทันที

กลับด้านบน