ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP25 ทบทวนพื้นฐานสำคัญของเมทริกซ์

ทบทวนพื้นฐานเมทริกซ์ที่จำเป็น ได้แก่ ขนาดและการคูณเมทริกซ์ การหาดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์เอกลักษณ์

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP25 • Matrix Foundation Review

ทบทวนพื้นฐานสำคัญของเมทริกซ์

ทบทวนพื้นฐานที่จำเป็นก่อนทำโจทย์เมทริกซ์ ได้แก่ ขนาดของเมทริกซ์ การบวกและลบ การคูณเมทริกซ์ การหาดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์เอกลักษณ์ และการหาเมทริกซ์ผกผัน

เป้าหมายของบท

อ่านและคำนวณเมทริกซ์พื้นฐานได้ หา \(\det(A)\) และ \(A^{-1}\) ได้ พร้อมตรวจสอบว่าเมทริกซ์ใดมีหรือไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

🧠

1. เมทริกซ์และขนาดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ คือ การจัดจำนวนเป็นแถวและหลักภายในวงเล็บ

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \]

เมทริกซ์ \(A\) มี 2 แถว และ 2 หลัก จึงมีขนาด \(2\times2\)

จำลำดับให้ถูกต้อง
\[ \text{ขนาดของเมทริกซ์} = \text{จำนวนแถว}\times\text{จำนวนหลัก} \]

ตัวอย่าง

\[ B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

เมทริกซ์ \(B\) มี 2 แถว และ 3 หลัก จึงมีขนาด \(2\times3\)

➕

2. การบวกและลบเมทริกซ์

เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้ เมื่อมีขนาดเท่ากันเท่านั้น โดยนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาคำนวณ

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8\\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]
ข้อควรระวัง

เมทริกซ์ขนาด \(2\times2\) ไม่สามารถบวกกับเมทริกซ์ขนาด \(2\times3\) ได้

✖️

3. การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

เมื่อนำจำนวนจริงคูณเมทริกซ์ ต้องคูณสมาชิกทุกตัวภายในเมทริกซ์

\[ 3 \begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6\\ -3 & 12 \end{bmatrix} \]
แยกให้ออก

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง ต่างจากการหาดีเทอร์มิแนนต์ของ \(kA\)

\[ \det(kA)=k^n\det(A) \]
🔗

4. เงื่อนไขการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ \(A\) คูณเมทริกซ์ \(B\) ได้ เมื่อจำนวนหลักของ \(A\) เท่ากับจำนวนแถวของ \(B\)

\[ A_{m\times n}B_{n\times p} = (AB)_{m\times p} \]
จำแบบสั้น

ตัวเลขด้านในต้องเท่ากัน และขนาดคำตอบใช้ตัวเลขด้านนอก

\[ (2\times3)(3\times4) \longrightarrow 2\times4 \]

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์

\[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & 5 \end{bmatrix} \]
\[ AB= \begin{bmatrix} (1)(2)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(5)\\ (3)(2)+(4)(1) & (3)(0)+(4)(5) \end{bmatrix} \]
\[ AB= \begin{bmatrix} 4 & 10\\ 10 & 20 \end{bmatrix} \]
สมบัติสำคัญ
\[ AB\neq BA \]

โดยทั่วไป การสลับลำดับการคูณ ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนไป

📐

5. การหาดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์เขียนแทนด้วย \(\det(A)\) หรือ \(|A|\) และหาได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส

กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \]

แล้ว

\[ \det(A)=ad-bc \]
จำง่าย

คูณแนวทแยงลง แล้วลบด้วยผลคูณแนวทแยงขึ้น

ตัวอย่าง

\[ A= \begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 2 \end{bmatrix} \]
\[ \det(A) =(4)(2)-(3)(2) \]
\[ \det(A)=8-6=2 \]
📌

6. สมบัติสำคัญของดีเทอร์มิแนนต์

\[ \det(AB)=\det(A)\det(B) \]
\[ \det(A^t)=\det(A) \]
\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \]
\[ \det(I)=1 \]

ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด \(n\times n\)

\[ \det(kA)=k^n\det(A) \]

สำหรับเมทริกซ์ขนาด \(2\times2\)

\[ \det(kA)=k^2\det(A) \]
อย่าสับสน
\[ \det(A+B) \neq \det(A)+\det(B) \]

โดยทั่วไปไม่สามารถแยกดีเทอร์มิแนนต์ของผลบวกได้

1️⃣

7. เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีเลข 1 บนเส้นทแยงมุมหลัก และตำแหน่งอื่นเป็น 0

\[ I_2= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
\[ I_3= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

เมทริกซ์เอกลักษณ์ทำหน้าที่คล้ายเลข 1 ในระบบจำนวนจริง

\[ AI=IA=A \]
\[ \det(I)=1 \]

ตัวอย่าง

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \]
🔄

8. เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันของ \(A\) เขียนแทนด้วย \(A^{-1}\) และมีสมบัติ

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]

เมทริกซ์ \(A\) จะมีเมทริกซ์ผกผัน ก็ต่อเมื่อ

\[ \det(A)\neq0 \]
ตรวจดีเทอร์มิแนนต์ก่อนเสมอ

ถ้า \(\det(A)=0\) จะไม่มี \(A^{-1}\) และเรียกว่าเมทริกซ์เอกฐาน

🧮

9. สูตรหาเมทริกซ์ผกผันขนาด \(2\times2\)

กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \]

เมื่อ \(\det(A)\neq0\) จะได้

\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix} \]
ขั้นตอนจำง่าย
  1. หา \(\det(A)=ad-bc\)
  2. สลับตำแหน่ง \(a\) กับ \(d\)
  3. เปลี่ยนเครื่องหมายของ \(b\) และ \(c\)
  4. คูณด้วย \(\frac{1}{\det(A)}\)
✅

10. ตัวอย่างการหาเมทริกซ์ผกผัน

กำหนดให้

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix} \]

ขั้นที่ 1 หา \(\det(A)\)

\[ \det(A) =(2)(2)-(1)(3) =1 \]

เนื่องจาก \(\det(A)\neq0\) ดังนั้น \(A\) มีเมทริกซ์ผกผัน

ขั้นที่ 2 ใช้สูตรเมทริกซ์ผกผัน

\[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix} \]
\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix} \]

ขั้นที่ 3 ตรวจคำตอบ

\[ AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} =I \]
🚫

11. เมทริกซ์ที่ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

พิจารณาเมทริกซ์

\[ B= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix} \]
\[ \det(B) =(1)(4)-(2)(2) \]
\[ \det(B)=4-4=0 \]
สรุป

เนื่องจาก \(\det(B)=0\) ดังนั้น \(B\) ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

⚡

12. สูตรสำคัญก่อนสอบ

\[ \det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix} \]
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]
\[ AI=IA=A \]
\[ \det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^{-1}\text{ มีอยู่} \]
\[ \det(A)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^{-1}\text{ ไม่มี} \]
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • คำนวณ \(\det(A)\) เป็น \(ad+bc\)
  • ลืมตรวจว่า \(\det(A)=0\) หรือไม่
  • สลับสมาชิกทุกตัวขณะหา \(A^{-1}\)
  • ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของ \(b\) และ \(c\)
  • คิดว่า \(AB=BA\) เสมอ
  • คิดว่า \(A^{-1}\) คือการกลับเศษส่วนสมาชิกทุกตัว
✏️

13. แบบฝึกหัดทบทวน 5 ข้อ

  1. จงหาขนาดของเมทริกซ์

    \[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]
    ดูเฉลย

    เมทริกซ์มี 2 แถว และ 3 หลัก

    ตอบ \(2\times3\)

  2. จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

    \[ A= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 4 \end{bmatrix} \]
    ดูเฉลย
    \[ \det(A) =(3)(4)-(1)(2) =10 \]

    ตอบ 10

  3. เมทริกซ์ต่อไปนี้มีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่

    \[ B= \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]
    ดูเฉลย
    \[ \det(B) =(2)(2)-(4)(1) =0 \]

    เนื่องจาก \(\det(B)=0\) ดังนั้น \(B\) ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

  4. ถ้า \(\det(A)=5\) จงหา \(\det(A^{-1})\)

    ดูเฉลย
    \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5} \]

    ตอบ \(\frac{1}{5}\)

  5. จงหา \(A^{-1}\) เมื่อ

    \[ A= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]
    ดูเฉลย
    \[ \det(A) =(3)(1)-(1)(2) =1 \]
    \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ -2 & 3 \end{bmatrix} \]
🎓

14. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

\[ \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \]
ดูคำอธิบาย
\[ \det \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} =(5)(4)-(2)(3) =14 \]

ตอบ B. \(14\)

ข้อ 2 ข้อใดเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด \(2\times2\)

ดูคำอธิบาย

เมทริกซ์เอกลักษณ์มีเลข 1 บนเส้นทแยงมุมหลัก และตำแหน่งอื่นเป็น 0

\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

ตอบ C

ข้อ 3 เมทริกซ์ \(A\) จะมีเมทริกซ์ผกผันเมื่อใด

ดูคำอธิบาย

เมทริกซ์จัตุรัสมีเมทริกซ์ผกผัน ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

\[ A^{-1}\text{ มีอยู่} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq0 \]

ตอบ D

ข้อ 4 ถ้า

\[ A= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]

แล้ว \(A^{-1}\) ตรงกับข้อใด

ดูคำอธิบาย
\[ \det(A) =(2)(1)-(1)(1) =1 \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \]

ตอบ A

ข้อ 5 ถ้า \(\det(A)=4\) แล้ว \(\det(A^{-1})\) มีค่าเท่าใด

ดูคำอธิบาย
\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{4} \]

ตอบ B. \(\frac{1}{4}\)

📌

15. สรุปก่อนจบบท

\[ \det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc \]
\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad AI=IA=A \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix} \]
\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I \]
\[ \det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad A^{-1}\text{ มีอยู่} \]
  • ฉันบอกขนาดของเมทริกซ์ได้
  • ฉันตรวจสอบเงื่อนไขการคูณเมทริกซ์ได้
  • ฉันหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ \(2\times2\) ได้
  • ฉันรู้จักเมทริกซ์เอกลักษณ์
  • ฉันตรวจสอบได้ว่าเมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผันหรือไม่
  • ฉันหาเมทริกซ์ผกผันขนาด \(2\times2\) ได้
หัวใจของบท

ก่อนหาเมทริกซ์ผกผัน ให้หา \(\det(A)\) ก่อนเสมอ หาก \(\det(A)=0\) ให้หยุดทันที เพราะเมทริกซ์นั้นไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

กลับด้านบน