ข้ามไปยังเนื้อหาหลัก
lesson

EP26 โจทย์ปัญหาอายุ จำนวนเต็ม และอสมการ

ฝึกแปลงโจทย์ข้อความเป็นนิพจน์ สมการ และอสมการ จากโจทย์อายุและจำนวนเต็มบวก

ภาพรวมหลักสูตรของฉัน

เส้นทางสู่เป้าหมาย

0%
ผ่านแล้ว 0/0 EP
เหลือ 0 EP
ผ่านครบวิชา 0/0 วิชา

กำลังโหลดความก้าวหน้า…

ความสำเร็จ Quiz ท้าย EP ผู้เรียน
กำลังโหลด…
ดีที่สุด 0%
ล่าสุด –
ทำแล้ว 0 ครั้ง

ทำ Quiz ท้าย EP เพื่อเริ่มบันทึกความสำเร็จ

🎯
EP26 • Exam-Driven Mathematics

โจทย์ปัญหาอายุ จำนวนเต็ม และอสมการ

ฝึกแปลงข้อความเป็นนิพจน์และสมการ จากโจทย์ปัญหาอายุและโจทย์จำนวนเต็มบวก พร้อมใช้เงื่อนไขอสมการเลือกค่าที่ทำให้ผลคูณมากที่สุด

เป้าหมายของบท

แยกข้อมูลสำคัญ ตั้งตัวแปร สร้างสมการหรืออสมการ และตรวจสอบคำตอบให้ตรงกับเงื่อนไขของโจทย์

🧠

1. พื้นฐานสำคัญก่อนทำโจทย์

1.1 แปลงข้อความเป็นนิพจน์

สมมติให้จำนวนหนึ่งหรืออายุของคนหนึ่งเท่ากับ \(x\)

\[ \text{มากกว่า }2\text{ เท่าของ }x\text{ อยู่ }3 =2x+3 \]
\[ \text{น้อยกว่า }3\text{ เท่าของ }x\text{ อยู่ }10 =3x-10 \]
\[ \text{มากกว่า }5x\text{ อยู่ }9 =5x+9 \]
\[ \text{น้อยกว่า }2x\text{ อยู่ }12 =2x-12 \]
คำที่ต้องระวัง

“น้อยกว่า 3 เท่าของจำนวนหนึ่งอยู่ 10” หมายถึง \(3x-10\) ไม่ใช่ \(10-3x\)

⏳

2. หลักสำคัญของโจทย์อายุ

เมื่อเวลาผ่านไป ทุกคนมีอายุเพิ่มขึ้นเท่ากัน แต่ผลต่างของอายุจะคงเดิม

\[ (a+13)-(b+13)=a-b \]

ดังนั้น ถ้าโจทย์กล่าวถึงผลต่างของอายุ ไม่ว่าจะเป็นปัจจุบันหรืออีกหลายปีข้างหน้า ผลต่างนั้นยังมีค่าเท่าเดิม

ตัวอย่าง

ถ้าคนโตอายุ 20 ปี และคนเล็กอายุ 8 ปี

\[ \text{ผลต่างปัจจุบัน}=20-8=12 \]

อีก 5 ปี

\[ (20+5)-(8+5)=12 \]
แนวทางตั้งตัวแปร

ถ้าอายุของหลายคนเขียนสัมพันธ์กันได้ ให้ตั้งอายุของคนที่เล็กที่สุดเป็น \(x\) แล้วเขียนอายุของคนอื่นในรูปของ \(x\)

🔢

3. หลักสำคัญของโจทย์จำนวนเต็มและอสมการ

เมื่อโจทย์กำหนดว่าเป็นจำนวนเต็มบวก ค่าของตัวแปรต้องอยู่ในเซต

\[ 1,2,3,4,\ldots \]

ถ้าแก้อสมการได้ว่า

\[ x<8 \]

และ \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าที่เป็นไปได้คือ

\[ x=1,2,3,4,5,6,7 \]
เมื่อถามค่ามากที่สุด

ถ้าจำนวนอื่นทุกจำนวนเพิ่มขึ้นตาม \(x\) และทุกจำนวนเป็นบวก ผลคูณจะมากที่สุดเมื่อเลือก \(x\) เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดตามเงื่อนไข

อย่าตอบจากอสมการทันที

จาก \(x<8\) ห้ามเลือก \(x=8\) เพราะเครื่องหมายเป็น “น้อยกว่า” ไม่ใช่ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ”

🧭

4. กรอบคิด 5 ขั้นตอน

  1. กำหนดตัวแปร เลือกจำนวนหรืออายุที่เขียนความสัมพันธ์ได้ง่าย
  2. แปลงข้อความ เขียนจำนวนหรืออายุทุกค่าให้อยู่ในรูปของตัวแปรเดียวกัน
  3. สร้างสมการหรืออสมการ ใช้เงื่อนไขสำคัญของโจทย์
  4. แก้หาตัวแปร พร้อมตรวจเงื่อนไขจำนวนเต็มบวก
  5. ตอบสิ่งที่โจทย์ถาม อย่าหยุดเพียงค่าของตัวแปร
จุดที่พบบ่อยในข้อสอบ

บางข้อหา \(x\) ได้แล้ว แต่โจทย์ถามอายุรวม หรือถามผลคูณของจำนวนทั้งหมด จึงต้องคำนวณต่ออีกขั้นหนึ่ง

❓

5. ปัญหานำข้อที่ 1

ครอบครัวหนึ่งมีบุตรสามคน ปัจจุบันคนกลางมีอายุมากกว่า 2 เท่าของคนเล็กอยู่ 3 ปี คนโตมีอายุน้อยกว่า 3 เท่าของคนกลางอยู่ 10 ปี

อีก 13 ปีข้างหน้า คนโตจะมีอายุเป็น 5 เท่า ของผลต่างอายุคนกลางและคนเล็ก จงหาว่าปัจจุบันทั้งสามคนมีอายุรวมกันกี่ปี

  1. 56 ปี
  2. 47 ปี
  3. 38 ปี
  4. 29 ปี
วางแผนก่อนทำ

ตั้งอายุคนเล็กเป็น \(x\) แล้วเขียนอายุคนกลางและคนโตให้อยู่ในรูปของ \(x\)

✅

6. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 1

ขั้นที่ 1 กำหนดตัวแปร

ให้คนเล็กมีอายุ \(x\) ปี

ขั้นที่ 2 เขียนอายุของคนกลาง

คนกลางมีอายุมากกว่า 2 เท่าของคนเล็กอยู่ 3 ปี

\[ \text{อายุคนกลาง}=2x+3 \]

ขั้นที่ 3 เขียนอายุของคนโต

คนโตมีอายุน้อยกว่า 3 เท่าของคนกลางอยู่ 10 ปี

\[ \text{อายุคนโต}=3(2x+3)-10 \]
\[ \text{อายุคนโต}=6x-1 \]

ขั้นที่ 4 ใช้เงื่อนไขอีก 13 ปี

อีก 13 ปี คนโตจะมีอายุ

\[ (6x-1)+13=6x+12 \]

ผลต่างอายุของคนกลางกับคนเล็กคือ

\[ (2x+3)-x=x+3 \]

จากเงื่อนไข คนโตมีอายุเป็น 5 เท่าของผลต่างดังกล่าว

\[ 6x+12=5(x+3) \]
\[ 6x+12=5x+15 \]
\[ x=3 \]

ขั้นที่ 5 หาอายุของทั้งสามคน

\[ \text{คนเล็ก}=3 \]
\[ \text{คนกลาง}=2(3)+3=9 \]
\[ \text{คนโต}=6(3)-1=17 \]

อายุรวมปัจจุบันคือ

\[ 3+9+17=29 \]
ตอบ ข้อ 4

ปัจจุบันทั้งสามคนมีอายุรวมกัน \(29\) ปี

🔍

7. ตรวจสอบคำตอบข้อที่ 1

ปัจจุบัน คนเล็ก 3 ปี คนกลาง 9 ปี และคนโต 17 ปี

ตรวจความสัมพันธ์คนกลาง

\[ 2(3)+3=9 \]

ตรวจความสัมพันธ์คนโต

\[ 3(9)-10=17 \]

อีก 13 ปี คนโตมีอายุ

\[ 17+13=30 \]

ผลต่างอายุคนกลางกับคนเล็กคือ

\[ 9-3=6 \]
\[ 5(6)=30 \]

ตรงกับอายุของคนโตในอีก 13 ปี แสดงว่าคำตอบถูกต้อง

❓

8. ปัญหานำข้อที่ 2

มีจำนวนเต็มบวกสามจำนวน โดยจำนวนที่สองมีค่ามากกว่า 5 เท่าของจำนวนแรกอยู่ 9 และจำนวนที่สามน้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 12

ถ้าผลบวกของทั้งสามจำนวนน้อยกว่า 143 จงหาผลคูณของจำนวนทั้งสามที่มีค่ามากที่สุด

  1. 15,444
  2. 23,408
  3. 33,712
  4. 46,656
วางแผนก่อนทำ

ตั้งจำนวนแรกเป็น \(x\) เขียนจำนวนที่สองและจำนวนที่สามในรูปของ \(x\) แล้วใช้เงื่อนไขผลบวกสร้างอสมการ

✅

9. วิธีทำปัญหานำข้อที่ 2

ขั้นที่ 1 กำหนดตัวแปร

ให้จำนวนแรกเท่ากับ \(x\)

ขั้นที่ 2 เขียนจำนวนที่สอง

จำนวนที่สองมากกว่า 5 เท่าของจำนวนแรกอยู่ 9

\[ \text{จำนวนที่สอง}=5x+9 \]

ขั้นที่ 3 เขียนจำนวนที่สาม

จำนวนที่สามน้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 12

\[ \text{จำนวนที่สาม}=2(5x+9)-12 \]
\[ \text{จำนวนที่สาม}=10x+6 \]

ขั้นที่ 4 สร้างอสมการจากผลบวก

\[ x+(5x+9)+(10x+6)<143 \]
\[ 16x+15<143 \]
\[ 16x<128 \]
\[ x<8 \]

ขั้นที่ 5 เลือกจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด

เนื่องจาก \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(x<8\) ค่ามากที่สุดของ \(x\) คือ

\[ x=7 \]

ขั้นที่ 6 หาจำนวนทั้งสาม

\[ \text{จำนวนแรก}=7 \]
\[ \text{จำนวนที่สอง}=5(7)+9=44 \]
\[ \text{จำนวนที่สาม}=10(7)+6=76 \]

ขั้นที่ 7 หาผลคูณ

\[ 7\times44\times76=23{,}408 \]
ตอบ ข้อ 2

ผลคูณที่มีค่ามากที่สุดเท่ากับ \(23{,}408\)

🔍

10. ทำไมต้องเลือก \(x=7\)

จำนวนทั้งสามคือ

\[ x,\quad 5x+9,\quad 10x+6 \]

เมื่อ \(x\) เพิ่มขึ้น จำนวนทั้งสามจะเพิ่มขึ้นทั้งหมด และทุกจำนวนเป็นบวก ผลคูณจึงเพิ่มขึ้นตาม \(x\)

จากอสมการ

\[ x<8 \]

จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดจึงเป็น \(7\) ไม่ใช่ \(8\)

ตรวจผลบวก
\[ 7+44+76=127<143 \]

ถ้าเลือก \(x=8\) จะได้ผลบวก

\[ 8+49+86=143 \]

ซึ่งไม่ผ่านเงื่อนไข “น้อยกว่า 143”

⚡

11. เทคนิคทำข้อสอบให้เร็วขึ้น

โจทย์อายุ

  • ตั้งอายุคนเล็กเป็น \(x\) เมื่ออายุคนอื่นขึ้นกับคนเล็ก
  • เขียนอายุปัจจุบันให้ครบก่อนพิจารณาอนาคต
  • อายุทุกคนเพิ่มเท่ากัน แต่ผลต่างอายุคงเดิม
  • ตรวจว่าคำตอบสุดท้ายถามอายุใครหรืออายุรวม

โจทย์จำนวนเต็มและอสมการ

  • แปลงจำนวนทุกจำนวนให้อยู่ในรูปของตัวแปรเดียว
  • ดูเครื่องหมาย \(<\), \(\leq\), \(>\) หรือ \(\geq\) ให้ชัด
  • เมื่อเป็นจำนวนเต็ม ให้เลือกเฉพาะค่าจำนวนเต็ม
  • เมื่อถามค่ามากที่สุด ให้ตรวจค่าขอบเขตที่ใกล้ที่สุด
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
  • แปล “น้อยกว่า 3 เท่าอยู่ 10” เป็น \(10-3x\)
  • เพิ่ม 13 ปีเฉพาะคนโต แต่เปลี่ยนผลต่างอายุผิด
  • จาก \(x<8\) เลือก \(x=8\)
  • หา \(x\) ได้แล้วหยุด ทั้งที่โจทย์ถามอายุรวมหรือผลคูณ
  • ไม่ตรวจเงื่อนไขจำนวนเต็มบวก
✏️

12. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ 5 ข้อ

  1. พี่มีอายุมากกว่า 2 เท่าของน้องอยู่ 4 ปี ถ้าน้องอายุ \(x\) ปี พี่มีอายุเท่าใด

    ดูเฉลย
    \[ \text{อายุพี่}=2x+4 \]

  2. พ่ออายุ 40 ปี ลูกอายุ 12 ปี อีก 8 ปีข้างหน้า อายุของพ่อและลูกต่างกันกี่ปี

    ดูเฉลย
    \[ 40-12=28 \]

    ผลต่างของอายุคงเดิม

    ตอบ 28 ปี

  3. จำนวนที่สองมากกว่า 4 เท่าของจำนวนแรกอยู่ 3 ถ้าจำนวนแรกเท่ากับ \(x\) จำนวนที่สองมีค่าเท่าใด

    ดูเฉลย
    \[ 4x+3 \]

  4. ถ้า \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(x<10\) ค่ามากที่สุดของ \(x\) คือเท่าใด

    ดูเฉลย
    \[ x=9 \]

    เพราะ \(10\) ไม่อยู่ในเงื่อนไข \(x<10\)

  5. จำนวนเต็มบวกสองจำนวนคือ \(x\) และ \(2x+1\) ถ้าผลบวกน้อยกว่า 20 จงหาค่ามากที่สุดของ \(x\)

    ดูเฉลย
    \[ x+(2x+1)<20 \]
    \[ 3x<19 \]
    \[ x<\frac{19}{3} \]

    เนื่องจาก \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวก ค่ามากที่สุดคือ

    \[ x=6 \]
🎓

13. Quiz ท้ายบท 5 ข้อ

ตอบแล้ว 0/5 ข้อ คะแนน 0/5

ข้อ 1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตรสามคน ปัจจุบันคนกลางมีอายุมากกว่า 2 เท่าของคนเล็กอยู่ 3 ปี คนโตมีอายุน้อยกว่า 3 เท่าของคนกลางอยู่ 10 ปี

อีก 13 ปีข้างหน้า คนโตจะมีอายุเป็น 5 เท่า ของผลต่างอายุคนกลางและคนเล็ก ปัจจุบันทั้งสามคนมีอายุรวมกันกี่ปี

ดูคำอธิบาย

ให้คนเล็กอายุ \(x\) ปี

\[ \text{คนกลาง}=2x+3 \]
\[ \text{คนโต}=3(2x+3)-10=6x-1 \]
\[ 6x+12=5[(2x+3)-x] \]
\[ 6x+12=5x+15 \]
\[ x=3 \]
\[ 3+9+17=29 \]

ตอบ D. \(29\) ปี

ข้อ 2 มีจำนวนเต็มบวกสามจำนวน โดยจำนวนที่สองมากกว่า 5 เท่าของจำนวนแรกอยู่ 9 และจำนวนที่สามน้อยกว่า 2 เท่าของจำนวนที่สองอยู่ 12

ถ้าผลบวกของทั้งสามจำนวนน้อยกว่า 143 ผลคูณที่มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าใด

ดูคำอธิบาย

ให้จำนวนแรกเป็น \(x\)

\[ \text{จำนวนที่สอง}=5x+9 \]
\[ \text{จำนวนที่สาม}=10x+6 \]
\[ x+(5x+9)+(10x+6)<143 \]
\[ x<8 \]

ค่าจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดคือ \(x=7\)

\[ 7\times44\times76=23{,}408 \]

ตอบ B. \(23{,}408\)

ข้อ 3 แม่มีอายุมากกว่า 3 เท่าของลูกอยู่ 5 ปี ถ้าลูกมีอายุ \(x\) ปี ข้อใดแทนอายุของแม่ได้ถูกต้อง

ดูคำอธิบาย

3 เท่าของอายุลูกคือ \(3x\) และแม่มีอายุมากกว่าค่านั้นอยู่ 5 ปี

\[ \text{อายุแม่}=3x+5 \]

ตอบ C

ข้อ 4 ถ้า \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(2x+7<20\) ค่ามากที่สุดของ \(x\) คือเท่าใด

ดูคำอธิบาย
\[ 2x+7<20 \]
\[ 2x<13 \]
\[ x<6.5 \]

จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดคือ \(6\)

ตอบ B. \(6\)

ข้อ 5 ปัจจุบันพี่อายุ 18 ปี และน้องอายุ 11 ปี อีก 9 ปีข้างหน้า พี่และน้องจะมีอายุต่างกันกี่ปี

ดูคำอธิบาย

ผลต่างของอายุไม่เปลี่ยนเมื่อเวลาผ่านไป

\[ 18-11=7 \]

ตรวจอีก 9 ปี

\[ (18+9)-(11+9)=7 \]

ตอบ D. \(7\) ปี

📌

14. สรุปก่อนจบบท

\[ \text{มากกว่า }kx\text{ อยู่ }a =kx+a \]
\[ \text{น้อยกว่า }kx\text{ อยู่ }a =kx-a \]
\[ (A+n)-(B+n)=A-B \]

ผลต่างของอายุคงเดิมเมื่อเวลาผ่านไป

\[ x<8,\quad x\in\mathbb{Z}^{+} \quad\Longrightarrow\quad x_{\max}=7 \]
  • ฉันแปลงข้อความเป็นนิพจน์ได้
  • ฉันตั้งตัวแปรและเขียนข้อมูลทั้งหมดด้วยตัวแปรเดียวได้
  • ฉันใช้หลักผลต่างของอายุคงเดิมได้
  • ฉันสร้างสมการจากโจทย์อายุได้
  • ฉันสร้างอสมการจากเงื่อนไขผลบวกได้
  • ฉันเลือกค่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดตามอสมการได้
  • ฉันคำนวณต่อจนได้สิ่งที่โจทย์ถามได้
หัวใจของบท

โจทย์ข้อความจะง่ายขึ้นเมื่อเขียนทุกปริมาณ ให้อยู่ในรูปของตัวแปรเดียว จากนั้นจึงใช้ประโยคเงื่อนไขสำคัญ สร้างสมการหรืออสมการเพื่อหาคำตอบ

กลับด้านบน